שיעור 11: נוסחת הסכום נתונה – מציאת האיבר הכללי

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

נוסחת הסכום נתונה – מציאת האיבר הכללי

📄 נוסח השאלה

סכום n האיברים הראשונים של סדרה הוא S_n = 2n² + 3n לכל n טבעי.

א. מצאו את a₁ ואת a₂.

ב. מצאו את נוסחת האיבר הכללי a_n.

ג. הוכיחו שהסדרה היא סדרה חשבונית, ומצאו את ההפרש שלה.

✏️ פתרון

S₁ הוא "סכום" של איבר אחד בלבד, כלומר a₁ עצמו:

a₁ = S₁ = 2 · 1² + 3 · 1 = 5

S₂ = a₁ + a₂, ולכן:

S₂ = 2 · 2² + 3 · 2 = 8 + 6 = 14

a₂ = S₂ − S₁ = 14 − 5 = 9📐 איבר מתוך הסכומיםa_n = S_n − S_{n − 1}

✅ פתרון סופי: a₁ = 5 , a₂ = 9

הסכום של n איברים פחות הסכום של n − 1 איברים משאיר בדיוק את האיבר האחרון a_n (לכל n ≥ 2).

a_n = S_n − S_{n − 1}📐 איבר מתוך הסכומיםa_n = S_n − S_{n − 1}

מחשבים את S_{n − 1}: מציבים n − 1 במקום n:

S_{n − 1} = 2(n − 1)² + 3(n − 1)

= 2(n² − 2n + 1) + 3n − 3📐 נוסחת הכפל המקוצר(x − y)² = x² − 2xy + y²

= 2n² − 4n + 2 + 3n − 3 = 2n² − n − 1

a_n = (2n² + 3n) − (2n² − n − 1)

= 2n² + 3n − 2n² + n + 1 = 4n + 1

בודקים שהנוסחה נכונה גם ל־n = 1 (שם הנוסחה a_n = S_n − S_{n − 1} לא מוגדרת):

בדיקה: a₁ = 4 · 1 + 1 = 5 ✓ , a₂ = 4 · 2 + 1 = 9 ✓

✅ פתרון סופי: a_n = 4n + 1

מוכיחים באופן כללי (לא מספיק לבדוק כמה איברים): מחשבים את ההפרש בין איבר כלשהו לאיבר שלפניו.

a_{n + 1} = 4(n + 1) + 1 = 4n + 5

a_{n + 1} − a_n = (4n + 5) − (4n + 1) = 4📐 הפרש הסדרה החשבוניתd = a_{n + 1} − a_n

ההפרש קבוע (4) ולא תלוי ב־n, ולכן הסדרה חשבונית.

✅ פתרון סופי: הסדרה חשבונית, d = 4