סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 59: בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב׳ – סדרה הנדסית אין־סופית יורדת
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 2
סדרה הנדסית אין־סופית יורדת
📄 נוסח השאלה
an היא סדרה הנדסית אין־סופית יורדת שכל איבריה חיוביים ומנתה היא q.
א. לפניכם שלוש טענות I–III. קבעו איזו מן הטענות נכונה ונמקו את קביעתכם.
I. −1 < q < 0 II. 0 < q < 1 III. 1 < q
bn היא סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים bn = an + an+1 + an+2 לכל n טבעי.
ב. הוכיחו כי הסדרה bn היא הנדסית ומנתה היא q.
נתון כי סכום הסדרה bn גדול פי 1.96 מסכום הסדרה an.
ג. מצאו את הערך של q.
cn היא סדרה שאיבריה מקיימים cn = bn4 · an לכל n טבעי. נתון כי סכום k האיברים הראשונים בסדרה הוא 34.79.
ד. (1) הוכיחו כי הסדרה cn היא קבועה. (2) מצאו את הערך של k.
החליפו את הסימן של כל אחד מן האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה cn.
ה. מצאו את סכום k האיברים הראשונים בסדרה cn לאחר החלפת הסימנים. נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון
סעיף א – איזו טענה נכונה
כל האיברים חיוביים. כדי שהסימן לא יתחלף, המנה חייבת להיות חיובית: אם q < 0, האיברים מתחלפים בין חיובי לשלילי. לכן טענה I נפסלת.
הסדרה יורדת, כלומר כל איבר קטן מקודמו:📐 הגדרת סדרה הנדסיתan+1an = q
an+1 < an
נחלק ב־an > 0 (חיובי, ולכן כיוון אי־השוויון נשמר):
an+1an < 1
q < 1
יחד עם q > 0: 0 < q < 1. לכן גם טענה III נפסלת (q > 1 נותן סדרה עולה).
✅ פתרון סופי: טענה II: 0 < q < 1 נכונה
סעיף ב – הוכחה ש־bn הנדסית עם מנה q
סדרה היא הנדסית אם המנה בין כל איבר לאיבר שלפניו קבועה. נחשב את bn+1bn:📐 הגדרת סדרה הנדסיתהמנה bn+1bn קבועה
לפי הגדרת bn (מציבים n + 1 במקום n):
bn+1 = an+1 + an+2 + an+3
בסדרה ההנדסית an כל איבר שווה לקודמו כפול q:📐 איבר עוקב בסדרה הנדסיתan+1 = an · q
an+1 = anq , an+2 = an+1q
an+3 = an+2q
bn+1 = anq + an+1q + an+2q
bn+1 = q(an + an+1 + an+2)
bn+1 = q · bn
ולכן (bn > 0 כי סכום של איברים חיוביים):
bn+1bn = q
המנה קבועה ושווה ל־q לכל n.
✅ פתרון סופי: הסדרה bn הנדסית ומנתה q ∎
סעיף ג – מציאת q
האיבר הראשון של bn (מציבים n = 1):
b1 = a1 + a2 + a3📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
= a1 + a1q + a1q2
b1 = a1(1 + q + q2)
לשתי הסדרות אותה מנה q, ו־0 < q < 1, ולכן לשתיהן יש סכום אין־סופי:
Sa = a11 − q📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q(כאשר −1 < q < 1, q ≠ 0)
Sb = a1(1 + q + q2)1 − q
נתון: Sb = 1.96 · Sa
a1(1 + q + q2)1 − q
= 1.96 · a11 − q
נכפול ב־(1 − q) ונחלק ב־a1 (שניהם חיוביים):
1 + q + q2 = 1.96
q2 + q − 0.96 = 0
q = −1 ± √1 + 3.842📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
= −1 ± √4.842 = −1 ± 2.22
q = 1.22 = 0.6
או
q = −3.22 = −1.6
לפי סעיף א 0 < q < 1, ולכן q = −1.6 נפסל.
✅ פתרון סופי: q = 0.6
סעיף ד (1) – הוכחה ש־cn קבועה
לפי ההגדרה של bn:
cn = bn4an = an + an+1 + an+24an
cn = an + anq + anq24an📐 איבר עוקב בסדרה הנדסיתan+1 = an · q
cn = an(1 + q + q2)4an
= 1 + q + q24
מסעיף ג: 1 + q + q2 = 1.96:
cn = 1.964 = 0.49
הערך לא תלוי ב־n, ולכן כל איברי הסדרה שווים ל־0.49.
✅ פתרון סופי: הסדרה קבועה: cn = 0.49 לכל n ∎
סעיף ד (2) – מציאת k
כל האיברים שווים ל־0.49, ולכן סכום k האיברים הראשונים הוא k פעמים 0.49:
Sk = 0.49 · k
0.49k = 34.79
k = 34.790.49 = 71
✅ פתרון סופי: k = 71
סעיף ה – הסכום אחרי החלפת הסימנים
אחרי החלפת הסימן במקומות הזוגיים הסדרה היא:
0.49 , −0.49 , 0.49 , …
מחפשים את סכום k = 71 האיברים הראשונים.
נחבר בזוגות: כל זוג (מקום אי־זוגי + המקום הזוגי שאחריו) נותן 0.49 + (−0.49) = 0.
ב־71 איברים יש 35 זוגות שלמים (האיברים 1 עד 70) ועוד איבר אחד – האיבר ה־71, שנמצא במקום אי־זוגי ולכן נשאר חיובי:
S = 35 · 0 + 0.49
S = 0.49
✅ פתרון סופי: 0.49 – 35 זוגות שסכום כל אחד 0, ועוד האיבר ה־71 (חיובי)
📌 סיכום
| סעיף א | טענה II |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
| סעיף ג | q = 0.6 |
| סעיף ד (1) | cn = 0.49 |
| סעיף ד (2) | k = 71 |
| סעיף ה | 0.49 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il