סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 29: קיץ 2025 מועד א (שאלון 472) – שאלה 1
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 1
סדרה חשבונית וסדרה הנדסית אין־סופית
📄 נוסח השאלה
נתונה סדרה חשבונית A, ובה 57 איברים: a1 , a2 , a3 , … נתון: a2 + a4 = a6. האיבר האחרון בסדרה A הוא 171.
א. מצאו את הפרש הסדרה ואת a1.
נתונה סדרה הנדסית אין־סופית B שאיבריה הם: b1 , b2 , b3 , … נתון: b1 = a6 , 3 · b3 = a8.
ב. מצאו את המנה של הסדרה B (מצאו את שתי האפשרויות).
נתון כי הסדרה B אינה עולה ואינה יורדת.
ג. מצאו את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה B.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – ההפרש ו־a1
נכתוב כל איבר בעזרת האיבר הראשון וההפרש:
a2 = a1 + d , a4 = a1 + 3d , a6 = a1 + 5d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
מציבים בנתון a2 + a4 = a6:
(a1 + d) + (a1 + 3d) = a1 + 5d
2a1 + 4d = a1 + 5d
2a1 − a1 = 5d − 4d
a1 = d
האיבר האחרון הוא האיבר ה־57:
a57 = a1 + 56d = 171📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
מציבים a1 = d:
d + 56d = 171
57d = 171
d = 17157 = 3
a1 = d = 3
בדיקה: a2 + a4 = 6 + 12 = 18 , a6 = 3 + 5 · 3 = 18 ✓ ; a57 = 3 + 56 · 3 = 171 ✓
✅ פתרון סופי: d = 3 , a1 = 3
סעיף ב – המנה של B
b1 = a6 = a1 + 5d = 3 + 15 = 18📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
a8 = a1 + 7d = 3 + 21 = 24📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
נתון 3 · b3 = a8:
3 · b3 = 24
b3 = 243 = 8
b3 = b1 · q2📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
18q2 = 8
q2 = 818 = 49
q = ±√49 = ±23
בדיקה: 18 · (23)2 = 18 · 49 = 8 ✓
✅ פתרון סופי: q = 23 או q = −23
סעיף ג – סכום האיברים במקומות הזוגיים
כש־q = 23 (חיובית) הסדרה יורדת. כש־q = −23 הסימנים מתחלפים (פלוס, מינוס, פלוס…), והסדרה לא עולה ולא יורדת. לכן q = −23.
האיברים במקומות הזוגיים: b2 , b4 , b6 , …. כל אחד מתקבל מהקודם לו בכפל ב־q2 (מדלגים איבר אחד), ולכן גם הם סדרה הנדסית:
b2 = b1 · q = 18 · (−23) = −12📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
המנה של הסדרה החדשה: q2 = (−23)2 = 49📐 ריבוע של מספר שלילי(−k)2 = k2
49 < 1, ולכן לסדרה האין־סופית יש סכום:
S = −121 − 49📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = b11 − q , |q| < 1
1 − 49 = 99 − 49 = 59
S = −1259 = −12 · 95 = −1085 = −21.6
✅ פתרון סופי: S = −21.6
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | d = 3 , a1 = 3 |
|---|---|
| סעיף ב | q = ±23 |
| סעיף ג | −21.6 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il