סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 65: בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב׳ – סדרה הנדסית
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 2
סדרה הנדסית
📄 נוסח השאלה
נתונה סדרה הנדסית שבה 2n + 1 איברים (n הוא מספר טבעי).
כל איברי הסדרה a1 , a2 , a3 , … , a2n+1 הם חיוביים.
סכום איברי הסדרה ללא שני האיברים הראשונים גדול פי 4 מסכום איברי הסדרה ללא שני האיברים האחרונים.
נתון כי סכום האיברים שנמצאים אחרי האיבר האמצעי גדול פי 256 מסכום האיברים שנמצאים לפני האיבר האמצעי.
א. מצאו את n.
המשיכו את הסדרה הנתונה, כך שנוצרה סדרה הנדסית אין־סופית.
נתון: B היא סדרה אין־סופית המקיימת לכל k טבעי bk = 1(ak + ak+1)2.
ב. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.
בסדרה B כופלים כל איבר שנמצא במקום זוגי ב־2.
נתון כי לאחר ההכפלה, סכום האיברים שנמצאים במקומות האי־זוגיים גדול ב־130 מסכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים.
ג. מצאו את a1.
✏️ פתרון
סעיף א – מציאת n
כל איבר הוא האיבר שנמצא שני מקומות לפניו כפול q2. לכן:
a3 + … + a2n+1
= q2(a1 + … + a2n−1)
כלומר "הסכום בלי שני הראשונים" הוא q2 כפול "הסכום בלי שני האחרונים". לפי הנתון:
q2 = 4📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
q = 2
(האיברים חיוביים, ולכן q > 0.) האיבר האמצעי הוא an+1. לפניו n איברים ואחריו n איברים, וכל איבר אחרי האמצעי הוא האיבר המתאים לפניו כפול qn+1:
an+2 + … + a2n+1
= qn+1(a1 + … + an)
2n+1 = 256 = 28
n + 1 = 8
n = 7
✅ פתרון סופי: n = 7
סעיף ב – B הנדסית
ak + ak+1 = ak + 2ak = 3ak📐 איבר עוקב בסדרה הנדסיתak+1 = ak · q , q = 2
bk = 1(ak + ak+1)2
bk = 1(3ak)2
bk = 19ak2
bk+1bk = 9ak29ak+12 = (akak+1)2 = (12)2 = 14📐 מנה בסדרה הנדסיתq = bk+1bk
המנה קבועה – הסדרה B הנדסית.
✅ פתרון סופי: הנדסית, q = 14
סעיף ג – הערך של a1
האיברים במקומות האי־זוגיים (סכומם S1): סדרה הנדסית עם איבר ראשון b1 ומנה (14)2 = 116:
S1 = b11 − 116 = 1615b1📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
האיברים במקומות הזוגיים אחרי ההכפלה (סכומם S2): איבר ראשון 2b2 = 2 · 14b1 = 12b1, אותה מנה:
S2 = 12b11 − 116 = 815b1
1615b1 − 815b1 = 130
815b1 = 130
b1 = 116
19a12 = 116
a12 = 169
a1 = 43
✅ פתרון סופי: a1 = 43
📌 סיכום
| סעיף א | n = 7 |
|---|---|
| סעיף ב | הנדסית, q = 14 |
| סעיף ג | a1 = 43 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il