סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 53: שאלה קצרה – סדרה הנדסית של משולשים במעגל – בגרות קיץ 2023 מועד מיוחד
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1 · סעיף ד
סדרה הנדסית של משולשים במעגל
📄 נוסח השאלה
ד. במעגל שמרכזו O בונים סדרה אין־סופית של משולשים שווי שוקיים. זוויות הראש של המשולשים הן זוויות מרכזיות במעגל, ושוקי המשולשים הם רדיוסים במעגל.
זווית הראש של המשולש הראשון (AOB) היא x. זווית הראש של המשולש השני (BOC) היא x2, כמתואר בסרטוט. ממשיכים לבנות משולשים שווי שוקיים כך שזווית הראש של כל משולש נוסף בסדרה קטנה פי 2 מזווית הראש של המשולש שלפניו.
נתון: סכום כל זוויות הראש של כל המשולשים בסדרה הוא 240.
(1) מצאו את x.
(2) האם שטחי כל המשולשים האלה הם סדרה הנדסית? נמקו את תשובתכם.
(בשאלון זווית הראש של המשולש הראשון מסומנת באות יוונית; כאן סימנו אותה באות x.)
✏️ פתרון
סעיף ד (1) – זווית הראש
זוויות הראש: x , x2 , x4 , … – סדרה הנדסית אין־סופית עם a1 = x ו־q = 12:
x1 − 12 = 240📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a11 − q
2x = 240
x = 120
✅ פתרון סופי: x = 120
סעיף ד (2) – האם השטחים סדרה הנדסית
השוקיים של כל המשולשים הם רדיוסים, באורך r:
S1 = 12r2 sin120 = 12r2 · √32📐 שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
S2 = 12r2 sin60 = 12r2 · √32
S3 = 12r2 sin30 = 12r2 · 12
נבדוק את המנות בין איברים סמוכים:
S2S1 = 1
S3S2 = 12√32 = 1√3
המנות לא שוות, ולכן השטחים אינם סדרה הנדסית.📐 סדרה הנדסיתan + 1an = q קבוע
בסרטוט: המשולשים הראשונים במעגל, עם זוויות הראש 120, 60, 30, 15:
✅ פתרון סופי: לא – המנות 1 ו־1√3 שונות
📌 סיכום
| סעיף ד (1) | x = 120 |
|---|---|
| סעיף ד (2) | לא |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il