שיעור 49: שבר עשרוני מחזורי כסכום של סדרה הנדסית אין־סופית

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

שבר עשרוני מחזורי כסכום של סדרה הנדסית אין־סופית

📄 נוסח השאלה

א. כתבו את המספר 0.777… (הספרה 7 חוזרת בלי סוף) כסכום של סדרה הנדסית אין־סופית, ומצאו אותו כשבר פשוט.

ב. כתבו את המספר 0.363636… (הספרות 36 חוזרות) כשבר פשוט, בעזרת סדרה הנדסית אין־סופית.

ג. כתבו את המספר 1.2555… (רק הספרה 5 חוזרת) כשבר פשוט.

ד. הוכיחו בעזרת סדרה הנדסית אין־סופית ש־0.999… = 1.

✏️ פתרון

סעיף א – 0.777…

נפרק את המספר לפי הספרות:

0.777… = 0.7 + 0.07 + 0.007 + …

a₁ = 0.7 q = 0.070.7 = 0.1📐 מנת הסדרה ההנדסיתq = a_{n + 1}a_n

המנה 0.1 מקיימת −1 < q < 1: האיברים הולכים וקטנים ושואפים לאפס, ולכן לסדרה יש סכום.

S = 0.71 − 0.1 = 0.70.9 = 79📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q , −1 < q < 1

✅ פתרון סופי: 0.777… = 79

סעיף ב – 0.363636…

0.363636… =

0.36 + 0.0036 + 0.000036 + …

a₁ = 0.36 q = 0.00360.36 = 0.01📐 מנת הסדרה ההנדסיתq = a_{n + 1}a_n

S = 0.361 − 0.01 = 0.360.99 = 3699📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q , −1 < q < 1

נצמצם ב־9:

3699 = 411

✅ פתרון סופי: 0.363636… = 411

סעיף ג – 1.2555…

החלק 1.2 לא חוזר. רק מה שאחריו הוא סדרה הנדסית:

1.2555… =

1.2 + (0.05 + 0.005 + …)

a₁ = 0.05 q = 0.0050.05 = 0.1📐 מנת הסדרה ההנדסיתq = a_{n + 1}a_n

S = 0.051 − 0.1 = 0.050.9 = 590 = 118📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q , −1 < q < 1

1.2555… = 1.2 + 118 = 65 + 118

= 10890 + 590 = 11390

✅ פתרון סופי: 1.2555… = 11390

סעיף ד – 0.999… = 1

0.999… = 0.9 + 0.09 + 0.009 + …

a₁ = 0.9 q = 0.1📐 מנת הסדרה ההנדסיתq = a_{n + 1}a_n

S = 0.91 − 0.1 = 0.90.9 = 1📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q , −1 < q < 1

הסכום של אינסוף האיברים הוא בדיוק 1. כל סכום חלקי קטן מ־1, אבל ההפרש 0.1ⁿ שואף לאפס, ולכן הסכום האין־סופי שווה ל־1.

✅ פתרון סופי: 0.999… = 1

📌 סיכום

סעיף א	79
סעיף ב	411
סעיף ג	11390
סעיף ד	1

סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים