סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 47: הכנסת איבר בין כל שני איברים – בגרות קיץ 2022 מועד א׳
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 2 · סעיפים א , ב , ג
הכנסת איבר בין כל שני איברים
📄 נוסח השאלה
סדרה I היא סדרה הנדסית אין־סופית שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , … ומנתה היא 9 · r2.
נתון: 0 < r < 13.
בין כל שני איברים בסדרה I הכניסו איבר נוסף, ונוצרה סדרה הנדסית חדשה יורדת, סדרה II, שאיבריה הם b1 , b2 , b3 , … ומנתה היא q.
א. (1) הביעו את q באמצעות r.
(2) הסבירו מדוע שתי הסדרות I ו־II מתכנסות.
נתון כי סכום סדרה II גדול פי 43 מסכום סדרה I.
ב. חשבו את q.
נתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה II הוא 12.
ג. מצאו את סכום כל האיברים של סדרה II במקומות שמתחלקים ב־5 (b5 , b10 , b15 , …).
✏️ פתרון
סעיף א (1) – המנה של סדרה II
נסמן את האיברים של סדרה II ב־bn ואת המנה שלה ב־q.
הכניסו איבר בין כל שני איברים של סדרה I, ולכן איברי סדרה I נמצאים בסדרה II במקומות האי־זוגיים: a1 = b1 , a2 = b3 , …
a2 = a1 · 9r2📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
b3 = b1 · q2📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
מכיוון ש־a1 = b1 ו־a2 = b3:
q2 = 9r2
q = 3r או q = −3r
סדרה II יורדת, ולכן כל איבריה באותו סימן והמנה חיובית (במנה שלילית הסימנים מתחלפים והסדרה אינה יורדת).
לכן q = 3r (ו־r חיובי).
✅ פתרון סופי: q = 3r
סעיף א (2) – שתי הסדרות מתכנסות
סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת כאשר המנה בין −1 ל־1 (ושונה מ־0).📐 נוסחה: תנאי התכנסות−1 < q < 1 , q ≠ 0
סדרה II:
0 < r < 13
0 < 3r < 1
המנה 3r בין 0 ל־1, ולכן סדרה II מתכנסת.
סדרה I:
0 < r2 < 19
0 < 9r2 < 1
המנה 9r2 בין 0 ל־1, ולכן גם סדרה I מתכנסת.
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ב – המנה של סדרה II
המנה של סדרה I היא 9r2 = (3r)2 = q2 , והאיבר הראשון של שתיהן b1.
SI = b11 − q2📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
SII = b11 − q📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
לפי הנתון:
SII = 43 · SI
b11 − q = 43 · b1(1 − q)(1 + q)📐 נוסחה: הפרש ריבועים1 − q2 = (1 − q)(1 + q)
נחלק את שני האגפים ב־b11 − q (שונה מ־0):
1 = 43(1 + q)
3(1 + q) = 4
1 + q = 43
q = 13
✅ פתרון סופי: q = 13
סעיף ג – סכום האיברים במקומות שמתחלקים ב־5
מציאת b1: האיברים במקומות הזוגיים b2 , b4 , b6 , … הם סדרה הנדסית:
איבר ראשון: b2 = b1 · q = b13📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
מנה: q2 = 19
b131 − 19 = 12📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
b13 : 89 = 12
b13 · 98 = 12
3b18 = 12
b1 = 32
האיברים במקומות שמתחלקים ב־5: b5 , b10 , b15 , …
b5 = 32 · (13)4 = 3281📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
מנה: q5 = (13)5 = 1243
S = 32811 − 1243📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסתS = a11 − q−1 < q < 1 , q ≠ 0
S = 3281 · 243242
S = 32 · 3242 = 96242 = 48121 ≈ 0.397
✅ פתרון סופי: 48121 ≈ 0.397
📌 סיכום
| סעיף א (1) | q = 3r |
|---|---|
| סעיף א (2) | הסבר |
| סעיף ב | q = 13 |
| סעיף ג | 48121 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il