שיעור 66: בגרות 571 קיץ 2024 מועד א׳ – סדרות הנדסיות

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 2
סדרות הנדסיות

📄 נוסח השאלה

הסדרה A היא סדרה הנדסית שאיבריה הם a₁ , a₂ , a₃ , …, ומנתה היא q, −1 < q < 0. נתון: a₁ = 1.

הסדרה B מוגדרת לכל n טבעי באופן הזה: b_n = a_n · a_n+2.

א. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, והביעו את מנתה באמצעות q.

ב. לפניכם שלוש טענות I–III. קבעו עבור כל טענה אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם.

I. הסדרה A לא עולה ולא יורדת. II. הסדרה B היא סדרה עולה. III. האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה A יוצרים סדרה עולה.

נתון: הסדרה B היא סדרה אין־סופית שסכומה הוא 18. ג. מצאו את ערכו של q.

נתונה סדרה הנדסית נוספת C, המוגדרת לכל n טבעי באופן הזה: c_n = a_nb_n. נתון: c₃ + c₄ + … + c_m = 44,307, m הוא מספר טבעי.

ד. מצאו את הערך של m.

✏️ פתרון

סעיף א – הסדרה B

a_n+1 = q · a_n📐 נוסחה: מנה בסדרה הנדסיתa_n+1 = a_n · q

b_n+1b_n = a_n+1 · a_n+3a_n · a_n+2 = a_n+1a_n · a_n+3a_n+2

= q · q = q²

המנה קבועה, ולכן B סדרה הנדסית עם מנה q².

✅ פתרון סופי: B הנדסית, המנה q²

סעיף ב – שלוש טענות

I: q < 0, ולכן סימני האיברים מתחלפים: a₁ = 1 > 0, a₂ = q < 0, a₃ = q² > 0… הסדרה עולה ויורדת לסירוגין – לא עולה ולא יורדת. נכונה.

II: b₁ = a₁ · a₃ = q² > 0, והמנה q² מקיימת 0 < q² < 1. סדרה עם איברים חיוביים ומנה בין 0 ל־1 היא יורדת. לא נכונה.

III: האיברים במקומות הזוגיים: a₂ , a₄ , … = q , q³ , … – סדרה הנדסית עם איבר ראשון q < 0 ומנה q² (0 < q² < 1). האיברים שליליים והערך המוחלט שלהם קטן, כלומר הם מתקרבים ל־0 מלמטה – הסדרה עולה. נכונה.

✅ פתרון סופי: I נכונה; II לא נכונה; III נכונה

סעיף ג – מציאת q

S_B = b₁1 − q² = q²1 − q²📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q

q²1 − q² = 18

8q² = 1 − q²

q² = 19 ⇐ q = ±13

נתון −1 < q < 0, ולכן q = −13.

✅ פתרון סופי: q = −13

סעיף ד – מציאת m

c_n = a_na_n · a_n+2 = 1a_n+2

a_n+2 = qⁿ⁺¹ = (−13)ⁿ⁺¹ ⇐ c_n📐 נוסחה: האיבר הכלליa_n = a₁ · qⁿ⁻¹

= (−3)ⁿ⁺¹

הסדרה C: מנה −3, ו־c₃ = (−3)⁴ = 81. מ־c₃ עד c_m יש m − 2 איברים:

81((−3)^m−2 − 1)−3 − 1 = 44,307📐 נוסחה: סכום n איברים בסדרה הנדסיתS_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

(−3)^m−2 − 1 = 44,307 · (−4)81

= −2188

(−3)^m−2 = −2187 = (−3)⁷

m − 2 = 7 ⇐ m = 9

✅ פתרון סופי: m = 9

📌 סיכום

סעיף א	הוכחה; המנה q²
סעיף ב	I נכונה, II לא נכונה, III נכונה
סעיף ג	q = −13
סעיף ד	m = 9

סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים