שיעור 36: קיץ 2022 מועד א (שאלון 471) – שאלה 1

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 שאלון 471 – קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 1
כלל נסיגה וסדרה חשבונית

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה המוגדרת לכל n טבעי על ידי כלל הנסיגה: a₁ = 84 , a_n+1 = a_n − 2.

א. (1) האם הסדרה הנתונה חשבונית או הנדסית? נמקו את תשובתכם. (2) כתבו את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה.

ב. (1) כמה איברים חיוביים יש בסדרה? (2) כתבו את ערכו של האיבר השלילי הראשון בסדרה.

נתון כי סכום האיברים השליליים בסדרה שווה ל־−552.

ג. כמה איברים סך הכול יש בסדרה הנתונה?

✏️ פתרון שאלה 1

(1) a_n+1 − a_n = −2 – ההפרש בין כל שני איברים עוקבים קבוע, ולכן הסדרה חשבונית עם d = −2.

(2)

a_n = 84 + (n − 1)(−2) = 84 − 2n + 2 = 86 − 2n📐 סדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)dS_n = n(a₁ + a_n)2

✅ פתרון סופי: (1) חשבונית , d = −2 (2) a_n = 86 − 2n

(1)

86 − 2n > 0 ⟸ n < 43

האיברים a₁ עד a₄₂ חיוביים (a₄₃ = 0).

(2) השלילי הראשון הוא a₄₄:

a₄₄ = 86 − 88 = −2

✅ פתרון סופי: (1) 42 איברים (2) −2

האיברים השליליים: −2 , −4 , −6 , … – סדרה חשבונית עם a₁ = −2 , d = −2. נסמן את מספרם k. האחרון: −2k:

k(−2 − 2k)2 = −552📐 סדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)dS_n = n(a₁ + a_n)2

−k(1 + k) = −552 ⟸ k² + k − 552 = 0

k = −1 ± √1 + 22082 = −1 ± 472📐 נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

k = 23 (k = −24 נפסל)

סך הכול: 42 חיוביים, האפס a₄₃ ו־23 שליליים:

42 + 1 + 23 = 66

✅ פתרון סופי: 66 איברים