סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 15: הוכחה שסדרה הנדסית וסכום
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
הוכחה שסדרה הנדסית וסכום
📄 נוסח השאלה
נתונה סדרה המוגדרת לכל n טבעי על ידי הכלל: bn = 2 · 3n − 1.
א. הוכיחו כי הסדרה היא הנדסית ומצאו את מנת הסדרה.
ב. הביעו באמצעות n את הסכום: Sn = 2 + 6 + 18 + … + 2 · 3n − 1.
ג. מהסדרה הנתונה יוצרים סדרה חדשה, באמצעות שינוי הסימן של האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים. מצאו את הסכום של 36 האיברים הראשונים בסדרה החדשה.
✏️ פתרון
סעיף א – הוכחה שהסדרה הנדסית
סדרה הנדסית: היחס (המנה) בין כל איבר לאיבר שלפניו קבוע. מוכיחים באופן כללי, לכל n:
bn + 1 = 2 · 3(n + 1) − 1 = 2 · 3n
bn + 1bn = 2 · 3n2 · 3n − 1📐 מנת הסדרה ההנדסיתq = an + 1an
= 3n − (n − 1) = 31 = 3📐 חילוק חזקות עם אותו בסיסaxay = ax − y
המנה היא 3 לכל n – קבועה ולא תלויה ב־n, ולכן הסדרה הנדסית.
✅ פתרון סופי: הסדרה הנדסית, q = 3
סעיף ב – הסכום
b1 = 2 · 30 = 2 , q = 3:
Sn = 2(3n − 1)3 − 1📐 סכום בסדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1 , q ≠ 1
= 2(3n − 1)2 = 3n − 1
בדיקה: n = 3 : 2 + 6 + 18 = 26 , 33 − 1 = 26 ✓
✅ פתרון סופי: Sn = 3n − 1
סעיף ג – הסדרה עם סימנים מתחלפים
הסדרה החדשה: 2 , −6 , 18 , −54 , …. כל איבר מתקבל מהקודם בכפל ב־(−3), ולכן היא הנדסית עם q = −3 (סימנים מתחלפים).
S36 = 2((−3)36 − 1)−3 − 1📐 סכום בסדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1 , q ≠ 1
36 זוגי, לכן (−3)36 = 336:
= 2(336 − 1)−4 = −336 − 12
הסבר: בכל זוג (איבר במקום אי־זוגי + האיבר שאחריו) הסכום שלילי, כי האיבר השלילי גדול פי 3 בערכו. לכן הסכום שלילי.
✅ פתרון סופי: S36 = −336 − 12
📌 סיכום
| סעיף א | q = 3 |
|---|---|
| סעיף ב | 3n − 1 |
| סעיף ג | −336 − 12 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il