שיעור 21: משולשי אמצעים – סדרה הנדסית אין־סופית בגאומטריה

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

משולשי אמצעים – סדרה הנדסית אין־סופית בגאומטריה

📄 נוסח השאלה

במשולש נתון בונים את שלושת קטעי האמצעים. במשולש שנוצר על ידיהם, שוב בונים את שלושת קטעי האמצעים, וכך הלאה. נסמן ב־S את שטח המשולש הנתון.

א. הביעו באמצעות S את שטח המשולש שנוצר על ידי קטעי האמצעים של המשולש הנתון.

ב. האיבר הראשון בסדרה a_n שווה ל־S, האיבר השני שווה לשטח המשולש השני, וכן הלאה. הסבירו מדוע הסדרה הנדסית ומצאו את המנה שלה.

ג. ממשיכים את התהליך בלי סוף. הביעו באמצעות S את סכום שטחי כל המשולשים.

ד. חשבו פי כמה גדול שטח המשולש הראשון מסכום שטחי שאר המשולשים.

✏️ פתרון

כל קטע אמצעים שווה למחצית הצלע שמולו. לכן למשולש האמצעים יש צלעות שהן חצי מצלעות המשולש הנתון, והוא דומה לו ביחס 12.

S₂S = (12)² = 14📐 יחס השטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = (יחס הדמיון)²

S₂ = S4

בדרך אחרת: שלושת קטעי האמצעים מחלקים את המשולש ל־4 משולשים חופפים, ולכן כל אחד הוא רבע מהשטח.

✅ פתרון סופי: S4

בכל שלב בונים משולש אמצעים של המשולש הקודם, ולפי סעיף א השטח שלו הוא רבע מהשטח הקודם. כלומר, כל איבר שווה לאיבר שלפניו כפול 14:

a_{n + 1} = 14 · a_n📐 כלל נסיגה של סדרה הנדסיתa_{n + 1} = q · a_n

היחס בין כל איבר לקודמו קבוע, ולכן הסדרה הנדסית.

✅ פתרון סופי: הנדסית, q = 14

q = 14 בין −1 ל־1, לכן יש סכום:

S_∞ = S1 − 14 = S34 = 4S3📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q , −1 < q < 1

✅ פתרון סופי: 4S3

סכום שאר המשולשים (בלי הראשון): 4S3 − S = S3

SS3 = 3

✅ פתרון סופי: פי 3