סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 37: בונים סדרה חדשה מסדרה נתונה – מה נשאר חשבונית או הנדסית
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
בונים סדרה חדשה מסדרה נתונה – מה נשאר חשבונית או הנדסית
📄 נוסח השאלה
נתונה הסדרה החשבונית an = 3n + 1 ונתונה הסדרה ההנדסית bn = 2 · 3n − 1.
א. בונים סדרה חדשה cn = 5an − 2. הוכיחו שהסדרה cn היא סדרה חשבונית, ומצאו את ההפרש שלה.
ב. בונים סדרה חדשה שאיבריה הם הריבועים של איברי הסדרה an: a12 , a22 , a32 , …. האם זו סדרה חשבונית? נמקו.
ג. הוכיחו שהסדרה 1b1 , 1b2 , 1b3 , … (סדרת ההפכיים) היא סדרה הנדסית, ומצאו את המנה שלה.
ד. בונים סדרה חדשה en = bn · bn + 1 (מכפלה של כל שני איברים סמוכים). הוכיחו ש־en היא סדרה הנדסית, ומצאו את המנה שלה.
ה. האם הסדרה bn + 1 היא סדרה הנדסית? נמקו.
✏️ פתרון
סעיף א – הסדרה cn = 5an − 2
נמצא את האיבר הכללי של cn – נציב את an = 3n + 1:
cn = 5(3n + 1) − 2
cn = 15n + 5 − 2 = 15n + 3
כדי להוכיח שהסדרה חשבונית, מראים שההפרש בין כל שני איברים סמוכים קבוע (לא תלוי ב־n):
cn + 1 = 15(n + 1) + 3 = 15n + 18📐 הפרש הסדרה החשבוניתd = an + 1 − an
cn + 1 − cn =
(15n + 18) − (15n + 3)
cn + 1 − cn = 15
ההפרש הוא מספר קבוע, ולכן cn סדרה חשבונית. שימו לב: ההפרש של an הוא 3, ו־5 · 3 = 15.
✅ פתרון סופי: הסדרה חשבונית, d = 15
סעיף ב – סדרת הריבועים
נחשב את שלושת האיברים הראשונים של an:
a1 = 3 · 1 + 1 = 4
a2 = 3 · 2 + 1 = 7
a3 = 3 · 3 + 1 = 10
הריבועים שלהם:
a12 = 16 , a22 = 49 , a32 = 100
49 − 16 = 33📐 הוכחה שסדרה אינה חשבוניתמספיק למצוא שני הפרשים עוקבים שונים (דוגמה נגדית)
100 − 49 = 51
ההפרשים 33 ו־51 שונים, ולכן סדרת הריבועים אינה סדרה חשבונית. דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי להפריך.
✅ פתרון סופי: לא – 49 − 16 = 33 אבל 100 − 49 = 51
סעיף ג – סדרת ההפכיים
כדי להוכיח שסדרה הנדסית, מראים שהמנה בין כל שני איברים סמוכים קבועה. נחלק איבר באיבר שלפניו:
1bn + 1 : 1bn = 1bn + 1 · bn1 = bnbn + 1📐 מנת הסדרה ההנדסיתq = an + 1an
הסדרה bn הנדסית עם מנה 3, כלומר bn + 1 = 3bn:
bnbn + 1 = bn3bn = 13📐 כלל נסיגה של סדרה הנדסיתan + 1 = q · an
המנה 13 קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן סדרת ההפכיים הנדסית. כלל: המנה של סדרת ההפכיים היא 1q.
✅ פתרון סופי: הסדרה הנדסית, q = 13
סעיף ד – מכפלה של איברים סמוכים
נחלק איבר באיבר שלפניו:
en + 1en = bn + 1 · bn + 2bn · bn + 1📐 מנת הסדרה ההנדסיתq = an + 1an
en + 1en = bn + 2bn
בסדרה הנדסית עם מנה 3:
bn + 2 = 3 · bn + 1
bn + 2 = 3 · 3 · bn = 9bn
en + 1en = 9bnbn = 9📐 כלל נסיגה של סדרה הנדסיתan + 1 = q · an
בדיקה במספרים: b1 = 2 , b2 = 6 , b3 = 18, ולכן e1 = 2 · 6 = 12 ו־e2 = 6 · 18 = 108, ו־108 : 12 = 9 ✓
✅ פתרון סופי: הסדרה הנדסית, q = 9
סעיף ה – הסדרה bn + 1
נחשב שלושה איברים ראשונים:
b1 + 1 = 2 + 1 = 3
b2 + 1 = 6 + 1 = 7
b3 + 1 = 18 + 1 = 19
73 ≠ 197📐 הוכחה שסדרה אינה הנדסיתמספיק למצוא שתי מנות עוקבות שונות (דוגמה נגדית)
המנות שונות, ולכן הסדרה bn + 1 אינה הנדסית.
מה כדאי לזכור: מסדרה חשבונית: k · an + c – נשארת חשבונית (ההפרש k · d). ריבועים – בדרך כלל לא. מסדרה הנדסית: k · bn , 1bn , bn · bn + 1 , bn2 – נשארות הנדסיות. הוספת מספר bn + c – בדרך כלל לא.
✅ פתרון סופי: לא – 73 ≠ 197
📌 סיכום
| סעיף א | d = 15 |
|---|---|
| סעיף ב | לא חשבונית |
| סעיף ג | q = 13 |
| סעיף ד | q = 9 |
| סעיף ה | לא הנדסית |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il