שיעור 64: בגרות 571 חורף 2025 – סדרות הנדסיות

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 חורף 2025, שאלה 2
סדרות הנדסיות

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם a₁ , a₂ , a₃ , …, ובה m איברים (m הוא מספר טבעי גדול מ־4). נתון: כל איברי הסדרה A הם שליליים.

סכום m − 4 האיברים האחרונים בסדרה הוא פי 16 מסכום m − 4 האיברים הראשונים בסדרה.

א. (1) מצאו את מנת הסדרה A. (2) האם הסדרה A עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת? נמקו את תשובתכם.

המשיכו את הסדרה A כך שנוצרה סדרה הנדסית אין־סופית. נתונה סדרה אין־סופית B שאיבריה מקיימים b_n = kⁿa_n לכל n טבעי. k הוא פרמטר שונה מ־0.

ב. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, והביעו את המנה שלה באמצעות k.

נתון כי סכום הסדרה B מתכנס. ג. מצאו את תחום הערכים האפשרי של k.

נתון: מנת הסדרה B היא 14. סכום הסדרה B הוא −3. ד. מצאו את הערך של k ואת הערך של b₁.

בסדרה B מחקו כל איבר שלישי (b₃ , b₆ , b₉ , …). ה. מצאו את סכום האיברים שנשארו בסדרה B.

✏️ פתרון

סעיף א – הסדרה A

(1) המנה

נסמן את המנה ב־q. כל איבר מבין m − 4 האחרונים (a₅ , … , a_m) נמצא 4 מקומות אחרי איבר מתאים מבין m − 4 הראשונים (a₁ , … , a_m−4):

a₅ = a₁q⁴ , a₆ = a₂q⁴ , …📐 נוסחה: האיבר הכללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · qⁿ⁻¹

לכן סכום האחרונים שווה לסכום הראשונים כפול q⁴:

q⁴ · S_m−4 = 16 · S_m−4

q⁴ = 16 ⇐ q = 2 או q = −2

כל האיברים שליליים, ולכן אין החלפת סימן בין איברים סמוכים: q > 0, כלומר q = 2.

✅ פתרון סופי: q = 2

(2) עולה או יורדת

a_n+1 − a_n = 2a_n − a_n = a_n < 0

כל איבר קטן מקודמו, ולכן הסדרה יורדת.

✅ פתרון סופי: הסדרה יורדת

סעיף ב – הסדרה B הנדסית

נראה שהמנה b_n+1b_n קבועה:

b_n+1b_n = kⁿ⁺¹a_n+1 · a_nkⁿ = k · a_na_n+1

= k · 12 = k2📐 נוסחה: מנה בסדרה הנדסיתa_n+1a_n = q = 2

המנה קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן B סדרה הנדסית עם מנה k2.

✅ פתרון סופי: B הנדסית, המנה k2

סעיף ג – תחום הערכים של k

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנס כאשר −1 < q < 1 (q ≠ 0).📐 משפטתנאי התכנסות – −1 < q < 1

−1 < k2 < 1 ⇐ −2 < k < 2

בנוסף k ≠ 0:

−2 < k < 0 או 0 < k < 2

✅ פתרון סופי: −2 < k < 0 או 0 < k < 2

סעיף ד – k ו־b₁

k2 = 14 ⇐ k = 12

b₁1 − 14 = −3📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q

b₁ = −3 · 34 = −94

✅ פתרון סופי: k = 12 , b₁ = −94

סעיף ה – מחיקת כל איבר שלישי

האיברים שנמחקו, b₃ , b₆ , b₉ , …, הם סדרה הנדסית אין־סופית: האיבר הראשון b₃ והמנה (14)³ = 164 (כל איבר נמצא 3 מקומות אחרי קודמו).

b₃ = b₁ · q² = −94 · 116 = −964📐 נוסחה: האיבר הכלליa_n = a₁ · qⁿ⁻¹

S_נמחקו = −9641 − 164 = −964 · 6463 = −17📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q

סכום האיברים שנשארו = הסכום הכולל פחות סכום האיברים שנמחקו:

−3 − (−17) = −3 + 17 = −207 = −267

✅ פתרון סופי: −207 = −267

📌 סיכום

סעיף א (1)	q = 2
סעיף א (2)	יורדת
סעיף ב	הוכחה; המנה k2
סעיף ג	−2 < k < 0 , 0 < k < 2
סעיף ד	k = 12 , b₁ = −94
סעיף ה	−207 = −267

סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים