סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 50: שאלה קצרה – סדרה הנדסית במשולש ישר זווית – בגרות קיץ 2026 מועד ב׳
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 1 · סעיף ד
סדרה הנדסית במשולש ישר זווית
📄 נוסח השאלה
ד. בסרטוט שבשאלון מתואר משולש ישר זווית ABC (הזווית CAB היא בת 90 מעלות). נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר הראשון בסדרה שווה לאורך הצלע AB. נתון: AB = 1.
(1) האם ייתכן שהאיבר השני בסדרה שווה לאורך הצלע BC? נמקו את תשובתכם.
(2) מצאו את אורך הצלע BC (בתשובתכם תוכלו להשאיר שורש).
✏️ פתרון
סעיף ד (1) – האם האיבר השני יכול להיות BC
במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הארוכה ביותר. הזווית הישרה היא A, ולכן היתר הוא BC, והוא ארוך מ־AB ומ־AC.
האיברים: a1 = AB = 1, a2, a3 (כולם אורכים, ולכן חיוביים, והמנה q > 0).
נניח שהאיבר השני הוא BC:📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
a2 = BC = 1 · q = q
a3 = AC = 1 · q2 = q2
כי BC הוא היתר, הוא ארוך מ־AB: q > 1.
אבל אז גם AC ארוך מ־BC:
q > 1 ⇒ q2 > q
⇒ AC > BC
כלומר הניצב AC ארוך מהיתר – זה בלתי אפשרי.
✅ פתרון סופי: לא ייתכן – אם BC = q אז היתר חייב להיות גדול מ־1, ואז AC = q2 > q = BC, והניצב ארוך מהיתר
סעיף ד (2) – אורך הצלע BC
לפי סעיף ד(1), האיבר השני הוא AC והשלישי הוא BC:
AC = q , BC = q2📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
(היתר BC הארוך ביותר, ולכן q > 1 – הסדרה עולה.)
AB2 + AC2 = BC2📐 משפט פיתגורסניצב2 + ניצב2 = יתר2
12 + q2 = (q2)2
1 + q2 = q4
q4 − q2 − 1 = 0
נסמן t = q2 (וזה בדיוק BC):
t2 − t − 1 = 0
t = 1 ± √1 + 42 = 1 ± √52📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
t = q2 חיובי, ולכן הפתרון 1 − √52 < 0 נפסל.
BC = t = 1 + √52 ≈ 1.618
בדיקה: AC2 = q2 ≈ 1.618, 1 + 1.618 = 2.618, BC2 ≈ 1.6182 ≈ 2.618 ✓
✅ פתרון סופי: BC = 1 + √52 ≈ 1.618
📌 סיכום
| סעיף ד (1) | לא |
|---|---|
| סעיף ד (2) | BC = 1 + √52 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il