שיעור 56: שאלה קצרה – זוויות מרובע בסדרה חשבונית – בגרות חורף 2022 נבצרים

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 1 · סעיף א
זוויות מרובע בסדרה חשבונית

📄 נוסח השאלה

א. נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם a₁ , a₂ , a₃ , a₄.

הוכיחו כי אם מתקיים ∢A = a₁ , ∢B = a₂ , ∢C = a₄ , ∢D = a₃, אז אפשר לחסום את המרובע ABCD במעגל.

✏️ פתרון

איברי סדרה חשבונית עם הפרש d:

a₂ = a₁ + d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

a₃ = a₁ + 2d

a₄ = a₁ + 3d

סכום הזוויות במרובע הוא 360:📐 משפט: סכום זוויות במרובע360 מעלות

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 360

a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d)

+ (a₁ + 3d) = 360

4a₁ + 6d = 360

2a₁ + 3d = 180

נבדוק את סכום הזוויות הנגדיות A ו־C:

∢A + ∢C = a₁ + a₄

= a₁ + a₁ + 3d = 2a₁ + 3d

= 180

סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180, ולכן אפשר לחסום את המרובע במעגל.📐 משפט: מרובע בר־חסימהאם סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180 מעלות – המרובע בר־חסימה

✅ פתרון סופי: הוכחה – ∢A + ∢C = 180

סעיף א	הוכחה