סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 27: חורף 2026 (שאלון 472) – שאלה 1
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2026, שאלה 1
סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: יריד ספרים
📄 נוסח השאלה
יריד ספרים ביישוב מסוים נמשך 7 ימים. כמות הספרים שנמכרו בכל יום ביריד הייתה גדולה פי 2 מכמות הספרים שנמכרו ביום שלפניו. ידוע כי בשלושת הימים הראשונים של היריד נמכרו 420 ספרים סך הכול.
א. מצאו כמה ספרים נמכרו ביום הראשון של היריד.
כל ספר ביריד נמכר ב־50 שקלים.
ב. מצאו את סך כל ההכנסות ממכירת הספרים במשך 7 ימי היריד.
לאחר שהסתיים יריד הספרים החליט מנהל היריד לתרום מחצית מכל ההכנסות שהתקבלו ביריד. מנהל היריד פָּרַס את התרומה לכמה חודשים. בחודש הראשון הוא תרם 4,315 שקלים, ובכל חודש שלאחר מכן הוא תרם 315 שקלים יותר מבחודש שלפניו.
ג. מצאו לכמה חודשים פרס מנהל היריד את התרומה.
ד. מצאו מהו סכום הכסף שתרם מנהל היריד סך הכול בשני החודשים האמצעיים.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – כמה ספרים נמכרו ביום הראשון
כל יום נמכרו פי 2 ספרים מהיום שלפניו, ולכן מספרי הספרים בכל יום הם סדרה הנדסית עם מנה q = 2. נסמן ב־a1 את מספר הספרים ביום הראשון.
בשלושת הימים הראשונים נמכרו 420 ספרים, כלומר S3 = 420:
S3 = a1(23 − 1)2 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
23 = 8 8 − 1 = 7 2 − 1 = 1
S3 = a1 · 71 = 7a1
7a1 = 420
מחלקים את שני האגפים ב־7:
a1 = 4207 = 60
בדיקה: 60 + 120 + 240 = 420 ✓ (ביום השני 60 · 2 = 120, ביום השלישי 120 · 2 = 240)
✅ פתרון סופי: a1 = 60 ספרים ביום הראשון
סעיף ב – סך ההכנסות ב־7 ימי היריד
קודם נמצא כמה ספרים נמכרו בכל 7 הימים – זה הסכום S7 של הסדרה ההנדסית (a1 = 60 , q = 2 , n = 7):
S7 = 60 · (27 − 1)2 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
27 = 128 128 − 1 = 127
S7 = 60 · 1271 = 7,620 ספרים
כל ספר נמכר ב־50 שקלים, ולכן ההכנסות:
7,620 · 50 = 381,000📐 הכנסהמספר הספרים · מחיר לספר
✅ פתרון סופי: 381,000 שקלים
סעיף ג – לכמה חודשים פוזרה התרומה
התרומה היא מחצית מההכנסות:
381,0002 = 190,500 שקלים
התרומות החודשיות הן סדרה חשבונית: a1 = 4,315 , d = 315. מחפשים את מספר החודשים n שבו הסכום הוא Sn = 190,500.
190,500 = n2 · [2 · 4,315 + (n − 1) · 315]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
2 · 4,315 = 8,630 (n − 1) · 315 = 315n − 315
190,500 = n2 · [8,630 + 315n − 315]
190,500 = n2 · [315n + 8,315]
כופלים את שני האגפים ב־2:
381,000 = n · (315n + 8,315)
381,000 = 315n2 + 8,315n
315n2 + 8,315n − 381,000 = 0
כל המקדמים מתחלקים ב־5, נחלק כדי לקבל מספרים קטנים יותר:
315 : 5 = 63 8,315 : 5 = 1,663 381,000 : 5 = 76,200
63n2 + 1,663n − 76,200 = 0
a = 63 , b = 1,663 , c = −76,200
מחשבים את הביטוי שבתוך השורש:
b2 − 4ac = 1,6632 − 4 · 63 · (−76,200)
1,6632 = 2,765,569 4 · 63 · 76,200 = 19,202,400
2,765,569 + 19,202,400 = 21,967,969
√21,967,969 = 4,687
n1,2 = −1,663 ± 4,6872 · 63 = −1,663 ± 4,687126📐 נוסחת השורשיםn1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
n1 = −1,663 + 4,687126 = 3,024126 = 24
n2 = −1,663 − 4,687126 = −6,350126 ≈ −50.4 – נפסל, מספר חודשים לא יכול להיות שלילי.
בדיקה: S24 = 242 · [8,630 + 23 · 315] = 12 · [8,630 + 7,245] = 12 · 15,875 = 190,500 ✓📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
✅ פתרון סופי: n = 24 חודשים
סעיף ד – התרומה בשני החודשים האמצעיים
יש 24 חודשים – מספר זוגי, ולכן יש שני חודשים אמצעיים: החודש ה־12 והחודש ה־13 (לפני כל אחד מהם 11 חודשים ואחרי כל אחד מהם 11 חודשים).
a12 = 4,315 + (12 − 1) · 315 = 4,315 + 11 · 315📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
11 · 315 = 3,465 a12 = 4,315 + 3,465 = 7,780
a13 = 4,315 + (13 − 1) · 315 = 4,315 + 12 · 315📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
12 · 315 = 3,780 a13 = 4,315 + 3,780 = 8,095
a12 + a13 = 7,780 + 8,095 = 15,875
בדיקה: בסדרה חשבונית סכום שני איברים שווי מרחק מהקצוות שווה: a1 + a24 = 4,315 + (4,315 + 23 · 315) = 4,315 + 11,560 = 15,875 ✓
✅ פתרון סופי: 15,875 שקלים
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | 60 ספרים |
|---|---|
| סעיף ב | 381,000 שקלים |
| סעיף ג | 24 חודשים |
| סעיף ד | 15,875 שקלים |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il