סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 28: קיץ 2025 מועד ב (שאלון 472) – שאלה 1
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 1
סדרה חשבונית וסדרה הנדסית: חיסכון ומקרר
📄 נוסח השאלה
מיכל הפקידה בכל חודש כסף לחיסכון. גובה הפיקדון שהיא העבירה בכל חודש גדול במספר קבוע מגובה הפיקדון שהיא העבירה בחודש שלפניו. סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל בחודש הראשון והשני הוא 2,100 שקלים סך הכול. גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש החמישי גדול פי 3 מגובה הפיקדון שהיא העבירה בחודש הראשון.
א. מצאו את גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש הראשון.
ב. מצאו לאחר כמה חודשים היה סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל 22,680 שקלים סך הכול.
בחודש ה־12, במקום להפקיד כסף לחיסכון, החליטה מיכל לקנות מקרר שמחירו שווה לגובה הפיקדון שהייתה אמורה להעביר בחודש זה. מיכל שילמה בעבור המקרר בארבעה תשלומים. כל תשלום גדול פי 3 מן התשלום שלפניו.
ג. מצאו את התשלום הראשון.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – הפיקדון בחודש הראשון
הפיקדון גדל כל חודש במספר קבוע ⟸ סדרה חשבונית. נסמן את הפיקדון הראשון a1 ואת ההפרש d.
a2 = a1 + d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
הפיקדון בחודש הראשון והשני ביחד 2,100:
a1 + (a1 + d) = 2,100 ⟹ 2a1 + d = 2,100 (משוואה 1)
a5 = a1 + 4d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
הפיקדון בחודש החמישי פי 3 מהראשון:
a1 + 4d = 3a1 ⟹ 4d = 2a1 ⟹ a1 = 2d (משוואה 2)
מציבים את משוואה 2 במשוואה 1:
2 · 2d + d = 2,100 5d = 2,100 d = 2,1005 = 420
a1 = 2 · 420 = 840
בדיקה: a2 = 840 + 420 = 1,260 840 + 1,260 = 2,100 ✓ ; a5 = 840 + 4 · 420 = 2,520 = 3 · 840 ✓
✅ פתרון סופי: 840 שקלים
סעיף ב – אחרי כמה חודשים הסכום 22,680
22,680 = n2 · [2 · 840 + (n − 1) · 420]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
2 · 840 = 1,680 (n − 1) · 420 = 420n − 420
22,680 = n2 · [1,680 + 420n − 420]
22,680 = n2 · [420n + 1,260]
כופלים ב־2:
45,360 = n · (420n + 1,260)
420n2 + 1,260n − 45,360 = 0
מחלקים את כל המשוואה ב־420:
1,260 : 420 = 3 45,360 : 420 = 108
n2 + 3n − 108 = 0
a = 1 , b = 3 , c = −108
b2 − 4ac = 9 + 432 = 441 √441 = 21
n1,2 = −3 ± 212📐 נוסחת השורשיםn1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
n1 = 182 = 9 n2 = −242 = −12 – נפסל (מספר חודשים חיובי).
בדיקה: S9 = 92 · [1,680 + 8 · 420] = 4.5 · 5,040 = 22,680 ✓📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
✅ פתרון סופי: לאחר 9 חודשים
סעיף ג – התשלום הראשון על המקרר
מחיר המקרר = הפיקדון שהיה אמור להיות בחודש ה־12:
a12 = 840 + 11 · 420 = 840 + 4,620 = 5,460📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
ארבעה תשלומים, כל אחד פי 3 מהקודם ⟸ סדרה הנדסית עם q = 3 , n = 4, וסכומה 5,460. נסמן את התשלום הראשון b1:
5,460 = b1(34 − 1)3 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
34 = 81 81 − 1 = 80 3 − 1 = 2
5,460 = 80b12 = 40b1
b1 = 5,46040 = 136.5
בדיקה: 136.5 + 409.5 + 1,228.5 + 3,685.5 = 5,460 ✓
✅ פתרון סופי: 136.5 שקלים
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | 840 שקלים |
|---|---|
| סעיף ב | 9 חודשים |
| סעיף ג | 136.5 שקלים |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il