שיעור 42: משוואה מעריכית בניסוי וטעייה – מציאת n

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

משוואה מעריכית בניסוי וטעייה – מציאת n

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית שבה a₁ = 3 והמנה היא q = 2.

א. באיזה מקום בסדרה נמצא האיבר 768?

ב. כמה איברים ראשונים בסדרה צריך לחבר כדי שהסכום יהיה 3,069?

ג. מהו האיבר הראשון בסדרה שגדול מ־10,000? באיזה מקום הוא נמצא?

נתונה סדרה הנדסית נוספת שבה b₁ = 64 והמנה היא q = 12.

ד. החל מאיזה מקום האיברים של הסדרה הזאת קטנים מ־0.01?

✏️ פתרון

סעיף א – המקום של האיבר 768

a_n = 3 · 2^{n − 1}📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

3 · 2^{n − 1} = 768

2^{n − 1} = 768 : 3 = 256

את המשוואה המעריכית פותרים בניסוי וטעייה – מחשבים חזקות של 2 עד שמגיעים ל־256:

2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 256

n − 1 = 8

n = 9

בדיקה: a₉ = 3 · 2⁸ = 3 · 256 = 768 ✓

✅ פתרון סופי: האיבר 768 נמצא במקום n = 9

סעיף ב – מספר האיברים מהסכום

S_n = 3(2ⁿ − 1)2 − 1 = 3(2ⁿ − 1)📐 סכום בסדרה הנדסיתS_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1 , q ≠ 1

3(2ⁿ − 1) = 3,069

2ⁿ − 1 = 1,023

2ⁿ = 1,024

ניסוי וטעייה:

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1,024

n = 10

בדיקה: S₁₀ = 3(1,024 − 1)

= 3 · 1,023 = 3,069 ✓

✅ פתרון סופי: צריך לחבר 10 איברים

סעיף ג – האיבר הראשון שגדול מ־10,000

3 · 2^{n − 1} > 10,000📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

2^{n − 1} > 10,0003 ≈ 3,333.3

נחפש את החזקה הראשונה של 2 שגדולה מ־3,333.3:

2¹¹ = 2,048 < 3,333.3

2¹² = 4,096 > 3,333.3

n − 1 = 12

n = 13

a₁₃ = 3 · 2¹²

a₁₃ = 3 · 4,096 = 12,288

בדיקה: האיבר שלפניו: a₁₂ = 3 · 2,048 = 6,144 < 10,000 ✓

✅ פתרון סופי: האיבר 12,288 במקום n = 13

סעיף ד – מתי האיברים קטנים מ־0.01

b_n = 64 · (12)^{n − 1} = 642^{n − 1}📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

642^{n − 1} < 0.01

נכפול את שני האגפים ב־2^{n − 1} (מספר חיובי) ונחלק ב־0.01:

2^{n − 1} > 640.01 = 6,400

ניסוי וטעייה:

2¹² = 4,096 < 6,400

2¹³ = 8,192 > 6,400

n − 1 ≥ 13

n ≥ 14

בדיקה: b₁₃ = 644,096 = 0.015625 > 0.01 , b₁₄ = 648,192 = 0.0078125 < 0.01 ✓

הסדרה יורדת (המנה 12), ולכן כל האיברים שאחרי b₁₄ קטנים עוד יותר.

✅ פתרון סופי: החל מהמקום n = 14

📌 סיכום

סעיף א	n = 9
סעיף ב	n = 10
סעיף ג	12,288 , n = 13
סעיף ד	החל מ־n = 14

סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים