שיעור 46: סכומים בקפיצות בסדרה הנדסית – בגרות קיץ 2021 מועד ב׳

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2021 מועד ב׳, שאלה 2 · סעיפים א , ב
סכומים בקפיצות בסדרה הנדסית

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אינסופית: a₁ , a₂ , a₃ , …. מנת הסדרה היא q.

א. הביעו באמצעות a₁ ו־q:

(1) את הסכום A = a₂ + a₄ + a₆ + … + a₄₀.

(2) את הסכום B = a₄ + a₈ + a₁₂ + … + a₄₀.

נתון כי הסדרה a_n עולה, וכי AB = 109.

ב. מצאו את q.

✏️ פתרון

סעיף א (1) – הסכום A

האיברים במקומות הזוגיים יוצרים סדרה הנדסית: האיבר הראשון a₂ והמנה q².📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

a₂ = a₁q📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

q_A = q²

מ־a₂ עד a₄₀ יש 20 איברים (המקומות 2, 4, …, 40):📐 חישוב: מספר איבריםn = 40 / 2 = 20

A = a₁q((q²)²⁰ − 1)q² − 1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסיתS_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

A = a₁q(q⁴⁰ − 1)q² − 1📐 נוסחה: חזקה של חזקה(q^m)ⁿ = q^mn

✅ פתרון סופי: A = a₁q(q⁴⁰ − 1)q² − 1

סעיף א (2) – הסכום B

האיברים a₄ , a₈ , … יוצרים סדרה הנדסית: האיבר הראשון a₄ והמנה q⁴.📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

a₄ = a₁q³📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

q_B = q⁴

מ־a₄ עד a₄₀ יש 10 איברים (המקומות 4, 8, …, 40):📐 חישוב: מספר איבריםn = 40 / 4 = 10

B = a₁q³((q⁴)¹⁰ − 1)q⁴ − 1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסיתS_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

B = a₁q³(q⁴⁰ − 1)q⁴ − 1📐 נוסחה: חזקה של חזקה(q^m)ⁿ = q^mn

✅ פתרון סופי: B = a₁q³(q⁴⁰ − 1)q⁴ − 1

סעיף ב – מציאת q

נחלק את A ב־B (הגורם a₁(q⁴⁰ − 1) מצטמצם):📐 נוסחה: חילוק שבריםab : cd = ab · dc

AB = qq² − 1 · q⁴ − 1q³📐 נוסחה: חילוק שבריםab : cd = ab · dc

AB = (q² − 1)(q² + 1)(q² − 1) · q² = q² + 1q²📐 נוסחה: הפרש ריבועיםa² − b² = (a − b)(a + b)

q² + 1q² = 109📐 נתון: הנתוןAB = 109

9q² + 9 = 10q²📐 נוסחה: כפל בהצלבהab = cd ⟹ ad = bc

q² = 9📐 נוסחה: הוצאת שורשx² = k ⟹ x = ±√k

⟹ q = 3

או

q = −3

בסדרה הנדסית עם מנה שלילית הסימנים מתחלפים, ולכן היא אינה עולה. הסדרה עולה, לכן:📐 תכונה: סדרה הנדסית עולהq > 1 ו־a₁ > 0 (או 0 < q < 1 ו־a₁ < 0)

q = 3📐 תכונה: סדרה הנדסית עולהq > 1 ו־a₁ > 0

✅ פתרון סופי: q = 3

📌 סיכום

א (1)	A = a₁q(q⁴⁰ − 1)q² − 1
א (2)	B = a₁q³(q⁴⁰ − 1)q⁴ − 1
ב	q = 3
ג	3
ד	−112a₁
ה (1)	לא
ה (2)	כן (a₁ = 3)

סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים