שיעור 55: שאלה קצרה – חישוב סכום של מכפלות – בגרות חורף 2023

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 חורף 2023, שאלה 1 · סעיף א
חישוב סכום של מכפלות

📄 נוסח השאלה

א. בעבור כל n טבעי מתקיים:
1 · 2 + 4 · 7 + …
+ (3n − 2)(5n − 3)
= n(5n² − 2n − 1)

(1) חשבו את הסכום:
7 · 12 + 10 · 17 + …
+ 58 · 97.

(2) נתון:
1 · 2 + 4 · 7 + …
+ (3n − 2)(5n − 3)
+ (3n + 1)(5n + 2)
= (n + 1)(5n² + 8n + C)
מצאו את C. נמקו.

✏️ פתרון

נסמן S_n = n(5n² − 2n − 1). האיבר הכללי a_k = (3k − 2)(5k − 3).

האיבר 7 · 12: 3k − 2 = 7 ⟸ k = 3. האיבר 58 · 97: 3k − 2 = 58 ⟸ k = 20 (ובדיקה: 5 · 20 − 3 = 97).

7 · 12 + … + 58 · 97 = S₂₀ − S₂📐 נוסחה: סכום של קטע מהסדרהa_k+1 + … + a_n = S_n − S_k

S₂₀ = 20(5 · 400 − 40 − 1)

S₂₀ = 20 · 1959 = 39180

S₂ = 2(20 − 4 − 1) = 30

39180 − 30 = 39150

✅ פתרון סופי: 39150

אגף שמאל הוא סכום n + 1 האיברים הראשונים, ולכן הוא S_n+1:

S_n+1 = (n + 1) ·📐 נוסחה: סכום עד n + 1S_n+1 = S_n + a_n+1

· (5(n + 1)² − 2(n + 1) − 1)

5(n + 1)² − 2(n + 1) − 1 =

= 5n² + 10n + 5 − 2n − 2 − 1

= 5n² + 8n + 2

נשווה ל־(n + 1)(5n² + 8n + C) לכל n:

C = 2

✅ פתרון סופי: C = 2

סעיף א (1)	39150
סעיף א (2)	C = 2