סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 43: מכפלה של שתי סדרות הנדסיות – בגרות קיץ 2023 מועד א׳
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 2 · סעיפים א , ב
מכפלה של שתי סדרות הנדסיות
📄 נוסח השאלה
נתונות שתי סדרות הנדסיות אין־סופיות מתכנסות, A ו־B, שכל איבריהן שונים מ־0.
האיבר הכללי של הסדרה A הוא an ומנתה היא qA.
האיבר הכללי של הסדרה B הוא bn ומנתה היא qB.
משתי הסדרות ההנדסיות A ו־B בונים סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת חדשה, שאיבריה הם: a1b1 , a2b2 , a3b3 , … , anbn , …
כל שלוש הסדרות, הסדרה A, הסדרה B והסדרה החדשה אינן קבועות.
א. הביעו את המנה של הסדרה החדשה באמצעות qA ו־qB.
הסדרה A אינה עולה ואינה יורדת, והסדרה B עולה.
ב. בנוגע לכל אחד משני ההיגדים (1)–(2) שלפניכם, קבעו אם הוא נכון או לא נכון ונמקו את קביעתכם.
(1) מנת הסדרה החדשה היא חיובית. (2) כל איברי הסדרה B הם שליליים.
✏️ פתרון
סעיף א – מנת הסדרה החדשה
an+1bn+1anbn = an+1an · bnbn+1📐 מנה בסדרה הנדסיתq = an+1an
= qA · 1qB = qAqB
✅ פתרון סופי: q = qAqB
סעיף ב – ההיגדים
הסדרות מתכנסות, ולכן −1 < qA < 1 ו־−1 < qB < 1 (ושונות מ־0).📐 סדרה הנדסית מתכנסת−1 < q < 1 , q ≠ 0
הסדרה A לא עולה ולא יורדת – הסימנים מתחלפים: qA < 0.
הסדרה B עולה. מנה שלילית הייתה נותנת סימנים מתחלפים, ולכן 0 < qB < 1. האיברים קטנים בערכם המוחלט (שואפים ל־0), ובכל זאת הסדרה עולה – זה קורה רק כאשר האיברים שליליים: b1 < 0.
(1) qAqB: מונה שלילי ומכנה חיובי – המנה שלילית. ההיגד לא נכון.
(2) b1 < 0 ו־qB > 0, ולכן כל האיברים שליליים. ההיגד נכון.
✅ פתרון סופי: (1) לא נכון ; (2) נכון
📌 סיכום
| סעיף א | q = qAqB |
|---|---|
| סעיף ב | (1) לא נכון ; (2) נכון |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il