סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 52: שאלה קצרה – סכום ריבועי המספרים הזוגיים – בגרות קיץ 2025 מועד א׳
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 1 · סעיף א
סכום ריבועי המספרים הזוגיים
📄 נוסח השאלה
א. (1) הוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים:
22 + 42 + 62 + … + (2n)2= 2n(n + 1)(2n + 1)3
(2) חשבו את הערך של הסכום: 42 + 62 + 82 + … + 1002.
✏️ פתרון
סעיף א (1) – הוכחה באינדוקצייה
שלב 1 – בדיקה בעבור n = 1:📐 אינדוקצייה מתמטית1. בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. הוכחה: נכון בעבור n = k + 1
22 = 4
2 · 1 · 2 · 33 = 123 = 4 ✓
שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה בעבור n = k:
22 + 42 + … + (2k)2
= 2k(k + 1)(2k + 1)3
שלב 3 – נוכיח בעבור n = k + 1. צריך להראות:
22 + … + (2k + 2)2
= 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)3
נפריד את האיבר האחרון ונשתמש בהנחה:
22 + … + (2k)2 + (2k + 2)2
= 2k(k + 1)(2k + 1)3 + 4(k
+ 1)2
נוציא גורם משותף 2(k + 1)3:
= 2(k + 1)3 · [k(2k + 1)
+ 6(k + 1)]
= 2(k + 1)3 · (2k2 + 7k + 6)
נפרק לגורמים: 2k2 + 7k + 6 = (k + 2)(2k + 3):
= 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)3 ✓
לפי עקרון האינדוקצייה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף א (2) – חישוב הסכום
האיבר האחרון 1002 = (2 · 50)2, ולכן זה הסכום בעבור n = 50 – בלי האיבר הראשון 22:
22 + … + 1002📐 הנוסחה מסעיף א (1)22 + 42 + 62 + … + (2n)2= 2n(n + 1)(2n + 1)3
= 2 · 50 · 51 · 1013
= 5151003 = 171700
42 + … + 1002
= 171700 − 22
= 171700 − 4 = 171696
✅ פתרון סופי: 171696
📌 סיכום
| א (2) | 171696 |
|---|---|
| ב (2) | OF = 12√27 |
| ג (1) | f – II, f′ – III, f″ – I |
| ג (2) | 3 נקודות פיתול |
| ג (3) | 3 |
| ד (1) | −1 < x < 0, x > 0 |
| ד (2) | גרף III |
| ד (3) | 724 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il