שיעור 40: סדרה חדשה מהפרשי הסכומים – בגרות חורף 2022

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 חורף 2022, שאלה 2 · סעיף א
סדרה חדשה מהפרשי הסכומים

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית עולה A שאיבריה הם a₁ , a₂ , a₃ , …, והפרשה d.

מסמנים ב־S_n את סכום n האיברים הראשונים בסדרה A, לכל n טבעי.

מגדירים סדרה נוספת, B, שאיבריה הם b₁ , b₂ , b₃ , …. איברי הסדרה B מקיימים b_n = S_n+1 − S_n, לכל n טבעי.

א. (1) האם הסדרה B היא סדרה חשבונית? נמקו.

(2) האם הסדרה B זהה לסדרה A? נמקו.

✏️ פתרון

S_n+1 = a₁ + a₂ + … + a_n + a_n+1

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n

b_n = S_n+1 − S_n = a_n+1

כלומר b₁ = a₂ , b₂ = a₃ , … – סדרה B היא סדרה A בלי האיבר הראשון.

b_n+1 − b_n = a_n+2 − a_n+1 = d📐 הגדרה: סדרה חשבוניתa_n+1 − a_n = d (קבוע)

ההפרש קבוע, ולכן B סדרה חשבונית (עם אותו הפרש d).

b₁ = a₂ = a₁ + d ≠ a₁

(d > 0 כי A עולה.) האיבר הראשון שונה, ולכן B אינה זהה ל־A.

✅ פתרון סופי: B חשבונית – כן ; זהה ל־A – לא

סעיף א	חשבונית – כן , זהה – לא