שיעור 39: סכום האיברים האמצעיים – בגרות קיץ 2023 מועד ב׳

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 2 · סעיפים א , ב , ג
סכום האיברים האמצעיים

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית בת 3n איברים: a₁ , a₂ , … , a_3n. הפרש הסדרה הוא d.

נסמן ב־S*_n את סכום n האיברים האמצעיים בסדרה (a_n+1 , … , a_2n), וב־S_3n את סכום כל איברי הסדרה.

א. הוכיחו כי S*_n = 13S_3n.

נתון: a₁ > 0 , S*_n = 0.

ב. האם הפרש הסדרה d חיובי או שלילי? נמקו.

נתון גם: a₁ = 19|d|.

ג. מצאו את מספר האיברים בסדרה.

✏️ פתרון

סעיף א – הוכחה

האיברים האמצעיים a_n+1 , … , a_2n הם סדרה חשבונית בת n איברים. האיבר הראשון והאחרון שלה:

a_n+1 = a₁ + nd📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

a_2n = a₁ + (2n − 1)d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

S*_n = n2(a_n+1 + a_2n)📐 נוסחה: סכום סדרה חשבוניתS_n = n2(a₁ + a_n)

S*_n = n2(a₁ + nd

+ a₁ + (2n − 1)d)

S*_n = n2(2a₁ + (3n − 1)d)

סכום כל 3n האיברים:

S_3n = 3n2(2a₁ + (3n − 1)d)📐 נוסחה: סכום סדרה חשבוניתS_n = n2(2a₁ + (n − 1)d)

נשווה:

S_3n = 3 · n2(2a₁ + (3n − 1)d)

S_3n = 3S*_n

S*_n = 13S_3n

✅ פתרון סופי: S*_n = 13S_3n הוכח

סעיף ב – סימן ההפרש

נתון S*_n = 0, ולפי סעיף א:

n2(2a₁ + (3n − 1)d) = 0

n > 0, ולכן:

2a₁ + (3n − 1)d = 0

d = −2a₁3n − 1

המונה שלילי (כי a₁ > 0) והמכנה חיובי (כי n ≥ 1), ולכן d < 0.

✅ פתרון סופי: ההפרש d שלילי

סעיף ג – מספר האיברים

ההפרש שלילי, ולכן |d| = −d:

a₁ = 19|d| = −19d

נציב במשוואה מסעיף ב:

2 · (−19d) + (3n − 1)d = 0

−38d + (3n − 1)d = 0

נחלק ב־d (d ≠ 0):

−38 + 3n − 1 = 0

3n = 39

n = 13

מספר האיברים בסדרה הוא 3n:

3n = 39

✅ פתרון סופי: 39 איברים

📌 סיכום

סעיף א	הוכחה
סעיף ב	שלילי
סעיף ג	39

סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים