סדרות – שאלון 571 10 פרקים68 שיעורים10 שבועות
שיעור 61: בגרות 571 חורף 2026 – סדרה הנדסית אין־סופית וסדרה נוספת
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2026, שאלה 2
סדרה הנדסית אין־סופית וסדרה נוספת
📄 נוסח השאלה
an היא סדרה הנדסית אין־סופית יורדת שסכומה מתכנס.
המנה של הסדרה היא q.
נסמן ב־T את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי־זוגיים בסדרה, ונסמן ב־R את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה.
נתון: T2R2 = 16.
א. מצאו את הערך של q.
נתונה סדרה bn שאיבריה מקיימים bn = 1 + qan · an+1 לכל n טבעי.
נתון: b1 = 1.
ב. מצאו את הערך של a1.
ג. הביעו את bn באמצעות n.
ד. הוכיחו באינדוקצייה או בכל דרך אחרת כי לכל n טבעי מתקיים:
b1 + b2 + … + bn = 16n − 115
✏️ פתרון
סעיף א – המנה q
האיברים במקומות האי־זוגיים a1 , a3 , a5 , … הם סדרה הנדסית עם איבר ראשון a1 ומנה q2 (מדלגים כל פעם שני צעדים):
T = a11 − q2📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
האיברים במקומות הזוגיים a2 , a4 , …: איבר ראשון a2 = a1q, מנה q2:
R = a1q1 − q2📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a11 − q , |q| < 1
TR = a1a1q = 1q
T2R2 = 1q2 = 16
q2 = 116
q = 14
או
q = −14
אם q שלילי, סימני האיברים מתחלפים (חיובי, שלילי, חיובי…) והסדרה אינה יורדת. לכן:
q = 14
✅ פתרון סופי: q = 14
סעיף ב – הערך של a1
נציב n = 1. לפי סעיף א, a2 = a1q = 14a1:
b1 = 1 + qa1 · a2 = 1 + 14a1 · 14a1📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
1 = 5414a12
1 = 5a12
a12 = 5
a1 = √5
או
a1 = −√5
עם q = 14 חיובית: אם a1 שלילי, האיברים שליליים ומתקרבים ל־0 – כלומר עולים. הסדרה יורדת, ולכן a1 חיובי:
a1 = √5
✅ פתרון סופי: a1 = √5
סעיף ג – bn באמצעות n
an = √5 · (14)n−1📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn−1
an+1 = √5 · (14)n
an · an+1 = 5 · (14)n−1+n📐 כפל חזקותam · ak = am+k
= 5 · (14)2n−1
bn = 545 · (14)2n−1
bn = 14 · 42n−1
bn = 42n−1−1 = 42n−2📐 חילוק חזקותamak = am−k
bn = (42)n−1 = 16n−1
בדיקה: n = 1: 160 = 1 = b1 ✓
✅ פתרון סופי: bn = 16n−1
סעיף ד – הוכחת הסכום
לפי סעיף ג, bn = 16n−1. זו סדרה הנדסית: איבר ראשון b1 = 1 ומנה 16, כי:
bn+1bn = 16n16n−1 = 16
נשתמש בנוסחת הסכום של n איברים ראשונים בסדרה הנדסית:
b1 + … + bn📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
= 1 · (16n − 1)16 − 1
= 16n − 115 ✓
✅ פתרון סופי: הוכח: b1 + … + bn = 16n − 115
📌 סיכום
| סעיף א | q = 14 |
|---|---|
| סעיף ב | a1 = √5 |
| סעיף ג | bn = 16n−1 |
| סעיף ד | הוכחה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il