שיעור 46: זווית גובה וזווית עומק

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

זווית גובה וזווית עומק

📘 מה לומדים

זווית גובה – כשמסתכלים למעלה: הזווית בין הקו האופקי לבין קו המבט.

זווית עומק – כשמסתכלים למטה: הזווית בין הקו האופקי לבין קו המבט.

זווית העומק מלמעלה שווה לזווית הגובה מלמטה (זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים).📐 זווית גובה וזווית עומקשתיהן נמדדות מהקו האופקיזווית העומק מלמעלה = זווית הגובה מלמטה

גובה ומרחק על הקרקע הם שני ניצבים במשולש ישר זווית, ולכן משתמשים לרוב ב־tan:

tan = הניצב שמול הזוויתהניצב שליד הזווית📐 במשולש ישר זוויתtan = הניצב שמול הזוויתהניצב שליד הזווית

צורה מורכבת (טרפז, מלבן ומשולש): מורידים גובה, ומקבלים משולש ישר זווית ולידו מלבן. פותרים את המשולש.

📄 דוגמה 1 – זווית עומק מראש צוק

מראש צוק T שגובהו 60 מטרים רואים סירה S בזווית עומק של 25°. הנקודה B היא תחתית הצוק.

א. מצאו את המרחק BS של הסירה מתחתית הצוק.

ב. הסירה התקרבה לצוק, ועכשיו המרחק שלה מתחתית הצוק הוא 80 מטרים. מהי עכשיו זווית העומק?

✏️ פתרון

סעיף א – המרחק BS

זווית העומק שווה לזווית הגובה מהסירה: ∢S = 25°. במשולש TBS הזווית B ישרה.

מול הזווית S – הגובה TB , ולידה – המרחק BS:

tan(∢S) = TBBS📐 במשולש ישר זוויתtan = הניצב שמול הזוויתהניצב שליד הזווית

נציב ∢S = 25° , TB = 60:

tan25° = 60BS

נכפול ב־BS ונחלק ב־tan25°:

BS = 60tan25°

BS = 600.4663 ≈ 128.67

✅ פתרון סופי: BS ≈ 128.67 מטרים

סעיף ב – זווית העומק החדשה

tan(∢S) = TBBS📐 במשולש ישר זוויתtan = הניצב שמול הזוויתהניצב שליד הזווית

נציב TB = 60 , BS = 80:

tan(∢S) = 6080 = 0.75

נמצא את הזווית במחשבון: SHIFT tan 0.75

∢S ≈ 36.87°

זווית העומק שווה לזווית הזו. הסירה קרובה יותר, ולכן מסתכלים עליה בזווית תלולה יותר.

✅ פתרון סופי: זווית העומק ∢S ≈ 36.87°

📄 דוגמה 2 – טרפז שווה שוקיים

בטרפז שווה שוקיים ABCD ( AB ∥ DC ) נתון: AB = 20 , DC = 12 , ∢A = 50°.

א. מצאו את גובה הטרפז.

ב. מצאו את אורך השוק AD.

✏️ פתרון

סעיף א – גובה הטרפז

נוריד גבהים DE ו־CF. באמצע נוצר מלבן DCFE , ולכן EF = DC = 12. בצדדים נשארו שני קטעים שווים:

AE = AB − DC2

נציב AB = 20 , DC = 12:

AE = 20 − 122 = 82 = 4

במשולש AED הזווית E ישרה. מול הזווית A – הגובה DE , ולידה – AE:

tan(∢A) = DEAE📐 במשולש ישר זוויתtan = הניצב שמול הזוויתהניצב שליד הזווית

נציב ∢A = 50° , AE = 4:

tan50° = DE4

DE = 4 · tan50°

DE = 4 · 1.1918 ≈ 4.77

✅ פתרון סופי: גובה הטרפז DE ≈ 4.77

סעיף ב – השוק AD

AD הוא היתר במשולש AED , ו־AE ליד הזווית A:

cos(∢A) = AEAD📐 במשולש ישר זוויתcos = הניצב שליד הזוויתהיתר

נציב ∢A = 50° , AE = 4:

cos50° = 4AD

AD = 4cos50°

AD = 40.6428 ≈ 6.22

✅ פתרון סופי: AD ≈ 6.22

📌 סיכום

זווית גובה	מהקו האופקי למעלה
זווית עומק	מהקו האופקי למטה; שווה לזווית הגובה מלמטה
גובה ומרחק	tan = מולליד
מציאת זווית	SHIFT tan
טרפז	מורידים גבהים: מלבן באמצע ושני משולשים ישרי זווית

מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 7 פרקים52 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים