מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 7 פרקים52 שיעורים10 שבועות
שיעור 1: גדילה ודעיכה – הנוסחה ומה כל אות אומרת
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
גדילה ודעיכה – הנוסחה ומה כל אות אומרת
📘 מה לומדים
כמות שגדלה או קטנה באותו אחוז בכל תקופה (שנה, חודש, שעה) מחשבים בנוסחה אחת:
Mt = M0 · qt📐 גדילה ודעיכהMt = M0 · qt
M0 – הכמות בהתחלה.
t – מספר התקופות שעברו.
Mt – הכמות אחרי t תקופות.
q – גורם הגדילה או הדעיכה: במה כופלים בכל תקופה.
איך מוצאים את q מהאחוז p:
q = 1 + p100📐 גדילה ב־ p אחוזיםq = 1 + p100
q = 1 − p100📐 דעיכה ב־ p אחוזיםq = 1 − p100
בגדילה q גדול מ־1, ובדעיכה q בין 0 ל־1.
📄 דוגמה 1 – גדילה
דני הפקיד בבנק 5,000 שקלים בריבית של 4% בשנה.
א. מהו גורם הגדילה q?
ב. כמה כסף יהיה לדני בבנק אחרי 3 שנים?
✏️ פתרון
סעיף א – גורם הגדילה
q = 1 + p100📐 גדילה ב־ p אחוזיםq = 1 + p100
נציב p = 4:
q = 1 + 4100 = 1.04
✅ פתרון סופי: q = 1.04
סעיף ב – הסכום אחרי 3 שנים
Mt = M0 · qt📐 גדילה ודעיכהMt = M0 · qt
נציב M0 = 5,000 , q = 1.04 , t = 3:
M3 = 5,000 · 1.043
במחשבון: 5000 × 1.04 ^ 3
M3 = 5,000 · 1.124864
M3 = 5,624.32
✅ פתרון סופי: אחרי 3 שנים יהיו בבנק 5,624.32 שקלים
📄 דוגמה 2 – דעיכה
מכונית חדשה עולה 80,000 שקלים. בכל שנה ערך המכונית יורד ב־20%.
א. מהו גורם הדעיכה q?
ב. מה יהיה ערך המכונית אחרי 2 שנים?
ג. בכמה אחוזים ירד ערך המכונית בשנתיים?
✏️ פתרון
סעיף א – גורם הדעיכה
q = 1 − p100📐 דעיכה ב־ p אחוזיםq = 1 − p100
נציב p = 20:
q = 1 − 20100 = 0.8
✅ פתרון סופי: q = 0.8
סעיף ב – הערך אחרי 2 שנים
Mt = M0 · qt📐 גדילה ודעיכהMt = M0 · qt
נציב M0 = 80,000 , q = 0.8 , t = 2:
M2 = 80,000 · 0.82
M2 = 80,000 · 0.64
M2 = 51,200
✅ פתרון סופי: אחרי 2 שנים המכונית שווה 51,200 שקלים
סעיף ג – הירידה באחוזים
נחלק את הערך אחרי שנתיים בערך ההתחלתי:
M2M0 = 51,20080,000 = 0.64
נשאר 64% מהערך, ולכן הירידה היא:
100% − 64% = 36%
שימו לב: ירידה של 20% בכל שנה היא לא ירידה של 40% בשנתיים – כי בשנה השנייה האחוז נלקח מסכום קטן יותר.
✅ פתרון סופי: הערך ירד ב־36%
📌 סיכום
| הנוסחה | Mt = M0 · qt |
|---|---|
| גדילה | q = 1 + p100 |
| דעיכה | q = 1 − p100 |
| דוגמה 1 | q = 1.04 , אחרי 3 שנים 5,624.32 שקלים |
| דוגמה 2 | q = 0.8 , אחרי 2 שנים 51,200 שקלים, ירידה של 36% |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il