מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 7 פרקים52 שיעורים10 שבועות
שיעור 9: הסתברות – מאורע, משלים ועץ הסתברות
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
הסתברות – מאורע, משלים ועץ הסתברות
📘 מה לומדים
מאורע הוא משהו שיכול לקרות בניסוי (למשל: "יצא כדור אדום"). כשלכל התוצאות יש אותו סיכוי:
P(A) = מספר הטוביםמספר האפשרויות📐 הסתברות של מאורעP(A) = מספר הטוביםמספר האפשרויות
הסתברות היא מספר בין 0 ל־1. אפשר לכתוב אותה גם באחוזים: 0.25 הם 25%.
מאורע משלים – המאורע ש־A לא קרה. יחד הם תמיד 1:
P(A) = 1 − P(A)📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(A)A – המאורע ש־A לא קרה
ניסוי בשני שלבים (שני משחקים, שתי הטלות) מסדרים בעץ הסתברות: על כל ענף כותבים את ההסתברות שלו.
לאורך ענף כופלים, ובין כמה ענפים מתאימים מחברים.📐 עץ הסתברותלאורך ענף – כופליםבין ענפים – מחברים
כל ההסתברויות בסוף הענפים יחד הן 1 – זו בדיקה טובה.
📄 דוגמה 1 – כדור מתוך כד
בכד יש 12 כדורים: 5 אדומים, 4 כחולים ו־3 ירוקים. מוציאים מהכד כדור אחד באקראי.
א. מהי ההסתברות שהכדור אדום?
ב. מהי ההסתברות שהכדור אינו אדום?
✏️ פתרון
סעיף א – כדור אדום
יש 5 כדורים אדומים (הטובים) מתוך 12 כדורים (כל האפשרויות).
P(A) = מספר הטוביםמספר האפשרויות📐 הסתברות של מאורעP(A) = מספר הטוביםמספר האפשרויות
נציב מספר הטובים = 5 , מספר האפשרויות = 12:
P(A) = 512 ≈ 0.42
✅ פתרון סופי: P(A) = 512 ≈ 0.42
סעיף ב – כדור שאינו אדום
"אינו אדום" הוא המאורע המשלים ל"אדום":
P(A) = 1 − P(A)📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(A)A – המאורע ש־A לא קרה
נציב P(A) = 512:
P(A) = 1 − 512 = 712
P(A) ≈ 0.58
בדיקה: יש 4 + 3 = 7 כדורים שאינם אדומים, ו־712 ✓
✅ פתרון סופי: P(A) = 712 ≈ 0.58
📄 דוגמה 2 – עץ הסתברות
יוסי משחק שני משחקים. ההסתברות שינצח במשחק הראשון היא 0.6, וההסתברות שינצח במשחק השני היא 0.7 (התוצאה של המשחק הראשון לא משפיעה על השני).
נסמן: A – יוסי ניצח במשחק הראשון, B – יוסי ניצח במשחק השני.
א. מהי ההסתברות שיוסי ינצח בשני המשחקים?
ב. מהי ההסתברות שיוסי ינצח בדיוק במשחק אחד?
ג. מהי ההסתברות שיוסי לא ינצח באף משחק?
✏️ פתרון
סעיף א – העץ וניצחון בשני המשחקים
קודם נשלים את ההסתברויות של ההפסדים:
P(A) = 1 − P(A)📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(A)A – המאורע ש־A לא קרה
נציב P(A) = 0.6:
P(A) = 1 − 0.6 = 0.4
P(B) = 1 − P(B)
נציב P(B) = 0.7:
P(B) = 1 − 0.7 = 0.3
העץ: בשלב הראשון המשחק הראשון, ובשלב השני המשחק השני.
ניצחון בשניהם הוא הענף A ואחר כך B. לאורך ענף כופלים:
P = P(A) · P(B)📐 עץ הסתברותלאורך ענף – כופליםבין ענפים – מחברים
נציב P(A) = 0.6 , P(B) = 0.7:
P = 0.6 · 0.7 = 0.42
✅ פתרון סופי: 0.42
סעיף ב – ניצחון בדיוק במשחק אחד
שני ענפים מתאימים: ניצח רק בראשון (A ואחר כך B), או ניצח רק בשני (A ואחר כך B). בכל ענף כופלים, ובין הענפים מחברים:
P = P(A) · P(B) + P(A) · P(B)📐 עץ הסתברותלאורך ענף – כופליםבין ענפים – מחברים
נציב P(A) = 0.6 , P(B) = 0.3 , P(A) = 0.4 , P(B) = 0.7:
P = 0.6 · 0.3 + 0.4 · 0.7
P = 0.18 + 0.28 = 0.46
✅ פתרון סופי: 0.46
סעיף ג – לא ניצח באף משחק
הענף A ואחר כך B:
P = P(A) · P(B)📐 עץ הסתברותלאורך ענף – כופליםבין ענפים – מחברים
נציב P(A) = 0.4 , P(B) = 0.3:
P = 0.4 · 0.3 = 0.12
בדיקה: 0.42 + 0.46 + 0.12 = 1 – כל האפשרויות יחד ✓
✅ פתרון סופי: 0.12
📌 סיכום
| הסתברות | P(A) = מספר הטוביםמספר האפשרויות |
|---|---|
| מאורע משלים | P(A) = 1 − P(A) |
| לאורך ענף | כופלים את ההסתברויות |
| בין ענפים | מחברים את ההסתברויות |
| בדיקה | כל הענפים יחד = 1 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il