מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 7 פרקים52 שיעורים10 שבועות
שיעור 11: בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 2 – הסתברות: הוצאה עם החזרה ועץ הסתברות
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 2
הסתברות: הוצאה עם החזרה ועץ הסתברות
📄 נוסח השאלה
בקלמר של סיגל יש שני סוגים של כלי כתיבה: 6 עפרונות ו־18 עטים.
ביום ראשון סיגל הוציאה באקראי כלי כתיבה אחד מן הקלמר, החזירה אותו לקלמר ושוב הוציאה באקראי כלי כתיבה (הוצאה עם החזרה).
א. מהי ההסתברות שסיגל הוציאה שני עפרונות?
ב. מהי ההסתברות שבדיוק אחד מכלי הכתיבה שהוציאה סיגל הוא עט?
ג. מהי ההסתברות שלפחות אחד מכלי הכתיבה שהוציאה סיגל הוא עט?
ביום שני נתנה סיגל לחברתה עיפרון אחד ו־3 עטים מן הקלמר. לאחר מכן הוציאה סיגל באקראי כלי כתיבה אחד מן הקלמר, החזירה אותו לקלמר ושוב הוציאה באקראי כלי כתיבה (הוצאה עם החזרה).
ד. האם ההסתברות שביום שני הוציאה סיגל שני עפרונות, גדולה מן ההסתברות שמצאתם בסעיף א, קטנה ממנה או שווה לה? נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 2
הכנה – ההסתברות בכל הוצאה, ועץ ההסתברות
בקלמר יש 6 + 18 = 24 כלי כתיבה.
ההסתברות להוציא עיפרון:📐 הסתברותמספר האפשרויות המתאימותמספר כל האפשרויות
624 = 14
ההסתברות להוציא עט:
1824 = 34
ההוצאה היא עם החזרה, ולכן בהוצאה השנייה ההסתברויות לא משתנות. נצייר עץ הסתברות (בקצה כל ענף – ההסתברות שלו):
סעיף א – שני עפרונות
הענף "עיפרון ואחריו עיפרון":📐 כלל הכפל בעץההסתברות של ענף = מכפלת ההסתברויות לאורכו
הסתברות הענף = הסתברות לעיפרון · הסתברות לעיפרון
נציב הסתברות לעיפרון = 14:
14 · 14 = 116
14 · 14 = 0.0625
✅ פתרון סופי: 116 (0.0625)
סעיף ב – בדיוק עט אחד
יש שני ענפים מתאימים: "עיפרון ואחריו עט" ו"עט ואחריו עיפרון".
ענף 1 – עיפרון, עט:📐 כלל הכפל בעץההסתברות של ענף = מכפלת ההסתברויות לאורכו
הסתברות הענף = הסתברות לעיפרון · הסתברות לעט
נציב הסתברות לעיפרון = 14 , הסתברות לעט = 34:
14 · 34 = 316
ענף 2 – עט, עיפרון:
הסתברות הענף = הסתברות לעט · הסתברות לעיפרון
נציב הסתברות לעט = 34 , הסתברות לעיפרון = 14:
34 · 14 = 316
נחבר את שני הענפים:📐 כלל החיבור בעץכמה ענפים מתאימים ← מחברים את ההסתברויות שלהם
ההסתברות = ענף 1 + ענף 2
נציב ענף 1 = 316 , ענף 2 = 316:
316 + 316 = 616 = 38
316 + 316 = 0.375
✅ פתרון סופי: 38 (0.375)
סעיף ג – לפחות עט אחד
"לפחות עט אחד" – המשלים שלו הוא "אף עט", כלומר שני עפרונות. את ההסתברות לשני עפרונות מצאנו בסעיף א: 116.
הסתברות ללפחות עט אחד = 1 − הסתברות לשני עפרונות
נציב הסתברות לשני עפרונות = 116:
1 − 116 = 1616 − 116📐 המאורע המשליםהסתברות של "לפחות אחד" שווה ל־1 פחות הסתברות של "אף אחד"
1 − 116 = 1516 = 0.9375
(אפשר גם לחבר את שלושת הענפים: 316 + 316 + 916 = 1516.)
✅ פתרון סופי: 1516 (0.9375)
סעיף ד – יום שני
סיגל נתנה עיפרון אחד ו־3 עטים. נשארו בקלמר:
6 − 1 = 5
עפרונות: 5.
18 − 3 = 15
עטים: 15. סך הכול: 5 + 15 = 20 כלי כתיבה.
520 = 14📐 הסתברותמספר האפשרויות המתאימותמספר כל האפשרויות
ההסתברות להוציא עיפרון ביום שני היא שוב 14 – בדיוק כמו ביום ראשון.
ההוצאה עם החזרה, ולכן ההסתברות לשני עפרונות:📐 כלל הכפל בעץההסתברות של ענף = מכפלת ההסתברויות לאורכו
הסתברות הענף = הסתברות לעיפרון · הסתברות לעיפרון
נציב הסתברות לעיפרון = 14:
14 · 14 = 116
יצא אותו מספר כמו בסעיף א.
✅ פתרון סופי: שווה – ביום שני ההסתברות לשני עפרונות היא גם 116, כי היחס בין העפרונות לכל כלי הכתיבה נשאר רבע (520 = 624)
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | 116 |
|---|---|
| סעיף ב | 38 |
| סעיף ג | 1516 |
| סעיף ד | שווה (116) |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il