מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 7 פרקים52 שיעורים10 שבועות
שיעור 50: בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 4 – המנוף והחלון: טריגונומטריה במשולש ישר זווית
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 4
המנוף והחלון: טריגונומטריה במשולש ישר זווית
📄 נוסח השאלה
סמדר עברה לגור בדירה הנמצאת בקומה האחרונה בבניין. היא הזמינה הובלה במנוף כדי להעלות רהיטים לדירה ולהכניס אותם דרך החלון. חלון הדירה של סמדר נמצא בנקודה A.
המנופאי יוסי מיקם את המנוף על הכביש BC, בנקודה B, וכיוון את זרוע המנוף בזווית של 68 מעלות (∢ABC), כמתואר בסרטוט.
נתון: AC מאונך ל־BC, AC = 12 מטרים.
א. מצאו את האורך של BC.
ב. מצאו את האורך של זרוע המנוף בזווית זו (AB).
לאחר זמן מסוים המנוף הפריע לתנועה. יוסי הזיז את המנוף לנקודה D, הנמצאת על המשך הכביש BC, וכיוון אותו בהתאם, כמתואר בסרטוט. נתון כי אורך הקטע BD הוא 2 מטרים.
ג. (1) מצאו את גודל הזווית החדשה של כיוון זרוע המנוף (∢ADC).
(2) מצאו בכמה מטרים גדול האורך של זרוע המנוף לאחר ההזזה (AD) מן האורך של זרוע המנוף לפני ההזזה (AB).
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – אורך BC
המשולש ABC ישר זווית ב־C. מול הזווית B (68 מעלות) נמצא AC = 12, ולידה – BC. שני ניצבים ← tan:
tan68 = ACBC📐 במשולש ישר זוויתtan = הניצב שמול הזוויתהניצב שליד הזווית
נציב AC = 12:
tan68 = 12BC
BC = 12tan68
BC = 122.4751 ≈ 4.848
✅ פתרון סופי: BC ≈ 4.848 מטרים
סעיף ב – אורך הזרוע AB
AB הוא היתר, ו־AC הניצב שמול הזווית B ← sin:
sin68 = ACAB📐 במשולש ישר זוויתsin = cos = הניצב שמול הזוויתהיתרהניצב שליד הזוויתהיתר
נציב AC = 12:
sin68 = 12AB
AB = 12sin68
AB = 120.9272 ≈ 12.942
✅ פתרון סופי: AB ≈ 12.942 מטרים
סעיף ג (1) – הזווית החדשה ADC
D על המשך CB, במרחק 2 מטרים מ־B:
DC = BC + BD
נציב BC = 4.848 , BD = 2:
DC = 4.848 + 2 = 6.848
במשולש ADC (ישר זווית ב־C) ידועים שני הניצבים:
tan(∢ADC) = ACDC📐 במשולש ישר זוויתtan = הניצב שמול הזוויתהניצב שליד הזווית
נציב AC = 12 , DC = 6.848:
tan(∢ADC) = 126.848
tan(∢ADC) ≈ 1.7523
נמצא את הזווית במחשבון (tan−1):
∢ADC ≈ 60.29
✅ פתרון סופי: ∢ADC ≈ 60.29 מעלות
סעיף ג (2) – בכמה גדלה הזרוע
נמצא את AD – היתר במשולש ADC:
AD2 = AC2 + DC2📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2c – היתר, a , b – הניצבים
נציב AC = 12 , DC = 6.848:
AD2 = 122 + 6.8482
AD2 = 144 + 46.895
AD2 = 190.895
AD = √190.895 ≈ 13.817
ההפרש בין הזרועות:
AD − AB = 13.817 − 12.942
AD − AB ≈ 0.874
(חישבנו בלי עיגול ביניים; עם המספרים המעוגלים יוצא 0.875 – כמעט אותו דבר.)
✅ פתרון סופי: גדול בכ־0.874 מטרים
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | BC ≈ 4.848 מטרים |
|---|---|
| סעיף ב | AB ≈ 12.942 מטרים |
| ג (1) | ∢ADC ≈ 60.29 מעלות |
| ג (2) | כ־0.874 מטרים |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il