מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 7 פרקים52 שיעורים10 שבועות
שיעור 2: מציאת q, האחוז והזמן
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
מציאת q, האחוז והזמן
📘 מה לומדים
בשאלות רבות בבגרות יודעים את הכמות בהתחלה ואת הכמות בסוף, וצריך למצוא את q או את האחוז.
Mt = M0 · qt📐 גדילה ודעיכהMt = M0 · qt
מציאת q: מציבים את מה שידוע, מחלקים בכמות ההתחלתית, ומוציאים שורש לפי מספר התקופות (2 תקופות – שורש ריבועי, 3 תקופות – שורש שלישי).
מעבר מ־q לאחוז:
p = (q − 1) · 100📐 האחוז מתוך q בגדילהp = (q − 1) · 100
p = (1 − q) · 100📐 האחוז מתוך q בדעיכהp = (1 − q) · 100
מציאת הזמן: בלי נוסחה מיוחדת. מחשבים את הכמות תקופה אחרי תקופה (כמו טבלה), עד שמגיעים לכמות המבוקשת.
📄 דוגמה 1 – מציאת q והאחוז
בשנת 2022 גרו בעיר 20,000 תושבים. בשנת 2024 גרו בה 24,200 תושבים. מספר התושבים גדל בכל שנה באותו אחוז.
א. מצאו את q.
ב. בכמה אחוזים גדל מספר התושבים בכל שנה?
✏️ פתרון
סעיף א – מציאת q
מ־2022 עד 2024 עברו 2 שנים.
Mt = M0 · qt📐 גדילה ודעיכהMt = M0 · qt
נציב Mt = 24,200 , M0 = 20,000 , t = 2:
24,200 = 20,000 · q2
נחלק את שני האגפים ב־20,000:
q2 = 24,20020,000 = 1.21
נוציא שורש ריבועי (במחשבון: √ 1.21 =):
q = √1.21 = 1.1
✅ פתרון סופי: q = 1.1
סעיף ב – האחוז
q גדול מ־1, ולכן זו גדילה:
p = (q − 1) · 100📐 האחוז מתוך q בגדילהp = (q − 1) · 100
נציב q = 1.1:
p = (1.1 − 1) · 100 = 10
✅ פתרון סופי: מספר התושבים גדל ב־10% בכל שנה
📄 דוגמה 2 – דעיכה, האחוז והזמן
מכונית נקנתה ב־60,000 שקלים. אחרי 3 שנים ערכה היה 30,720 שקלים. ערך המכונית יורד בכל שנה באותו אחוז.
א. מצאו את q.
ב. בכמה אחוזים יורד ערך המכונית בכל שנה?
ג. אחרי כמה שנים שלמות מהקנייה ערך המכונית יהיה לראשונה פחות מ־20,000 שקלים?
✏️ פתרון
סעיף א – מציאת q
Mt = M0 · qt📐 גדילה ודעיכהMt = M0 · qt
נציב Mt = 30,720 , M0 = 60,000 , t = 3:
30,720 = 60,000 · q3
נחלק את שני האגפים ב־60,000:
q3 = 30,72060,000 = 0.512
3 שנים – נוציא שורש שלישי (במחשבון: SHIFT ∛ 0.512 =):
q = 3√0.512 = 0.8
✅ פתרון סופי: q = 0.8
סעיף ב – האחוז
q קטן מ־1, ולכן זו דעיכה:
p = (1 − q) · 100📐 האחוז מתוך q בדעיכהp = (1 − q) · 100
נציב q = 0.8:
p = (1 − 0.8) · 100 = 20
✅ פתרון סופי: ערך המכונית יורד ב־20% בכל שנה
סעיף ג – מציאת הזמן
אחרי 3 שנים הערך הוא 30,720 – עדיין יותר מ־20,000. נבדוק את השנה הרביעית:
Mt = M0 · qt📐 גדילה ודעיכהMt = M0 · qt
נציב M0 = 60,000 , q = 0.8 , t = 4:
M4 = 60,000 · 0.84 = 24,576
עדיין יותר מ־20,000. נבדוק את השנה החמישית, t = 5:
M5 = 60,000 · 0.85 = 19,660.8
אחרי 4 שנים הערך יותר מ־20,000, ואחרי 5 שנים הוא כבר פחות.
✅ פתרון סופי: אחרי 5 שנים
📌 סיכום
| הנוסחה | Mt = M0 · qt |
|---|---|
| מציאת q | מחלקים ב־M0 ומוציאים שורש לפי מספר התקופות |
| האחוז בגדילה | p = (q − 1) · 100 |
| האחוז בדעיכה | p = (1 − q) · 100 |
| מציאת הזמן | מחשבים שנה אחרי שנה עד שמגיעים לכמות |
| דוגמה 1 | q = 1.1 , גדילה של 10% |
| דוגמה 2 | q = 0.8 , ירידה של 20% , אחרי 5 שנים |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il