מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 7 פרקים52 שיעורים10 שבועות
שיעור 47: בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 4 – סולמות ועמוד: טריגונומטריה במשולש ישר זווית
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 4
סולמות ועמוד: טריגונומטריה במשולש ישר זווית
📄 נוסח השאלה
שני טכנאים, גיא ושרון, נקראו לתקן תקלה בעמוד תקשורת. העמוד ניצב על קרקע מישורית בנקודה A. כל אחד מהם הביא איתו סולם והציב אותו על הקרקע בצד אחר של העמוד.
גיא הציב את הסולם שלו בנקודה C, ושרון הציב את הסולם שלו בנקודה D הנמצאת על המשך הקטע CA, כמתואר בסרטוט. שניהם השעינו את הסולם על העמוד בנקודה B.
אורך הסולם של גיא (BC) הוא 5 מטרים. גיא הציב את הסולם בזווית של 67 מעלות ביחס לקרקע (∢BCA).
א. מצאו את אורך הקטע CA.
ב. מצאו את אורך הקטע AB.
נתון כי אורך הסולם של שרון (BD) הוא 4.8 מטרים.
ג. מצאו את גודל הזווית שבה הציב שרון את הסולם ביחס לקרקע (∢BDA).
ד. מצאו את המרחק בין שתי הנקודות שבהן הציבו גיא ושרון את הסולמות שלהם (CD).
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – אורך CA
העמוד ניצב על הקרקע, ולכן ∢BAC = 90 מעלות: המשולש ABC ישר זווית, והסולם BC = 5 הוא היתר.
ליד הזווית C (67 מעלות) נמצא הניצב CA. ניצב ליד הזווית ויתר ← cos:
cos67 = CABC📐 במשולש ישר זוויתsin = cos = הניצב שמול הזוויתהיתרהניצב שליד הזוויתהיתר
נציב BC = 5:
cos67 = CA5
CA = 5 · cos67
CA = 5 · 0.3907 ≈ 1.954
CA ≈ 1.95
✅ פתרון סופי: CA ≈ 1.95 מטרים
סעיף ב – אורך AB
מול הזווית C נמצא הניצב AB. ניצב מול הזווית ויתר ← sin:
sin67 = ABBC📐 במשולש ישר זוויתsin = cos = הניצב שמול הזוויתהיתרהניצב שליד הזוויתהיתר
נציב BC = 5:
sin67 = AB5
AB = 5 · sin67
AB = 5 · 0.9205 ≈ 4.603
AB ≈ 4.6
✅ פתרון סופי: AB ≈ 4.6 מטרים
סעיף ג – הזווית BDA
גם המשולש ABD ישר זווית (∢BAD = 90 מעלות), והסולם BD = 4.8 הוא היתר.
מול הזווית D נמצא הניצב AB (סעיף ב). ניצב מול הזווית ויתר ← sin:
sin(∢BDA) = ABBD📐 במשולש ישר זוויתsin = cos = הניצב שמול הזוויתהיתרהניצב שליד הזוויתהיתר
נציב AB = 4.603 , BD = 4.8:
sin(∢BDA) = 4.6034.8
sin(∢BDA) ≈ 0.959
נמצא את הזווית במחשבון (sin−1):
∢BDA ≈ 73.5
✅ פתרון סופי: ∢BDA ≈ 73.5 מעלות
סעיף ד – המרחק CD
הנקודות D , A , C על ישר אחד, ו־A ביניהן. לכן CD = DA + AC. נמצא את DA במשולש ABD:
BD2 = DA2 + AB2📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2c – היתר, a , b – הניצבים
נציב BD = 4.8 , AB = 4.603:
4.82 = DA2 + 4.6032
23.04 = DA2 + 21.188
DA2 = 23.04 − 21.188
DA2 = 1.852
DA = √1.852 ≈ 1.361
עכשיו נחבר:
CD = DA + AC
נציב DA = 1.361 , AC = 1.954:
CD = 1.361 + 1.954 = 3.315
CD ≈ 3.32
✅ פתרון סופי: CD ≈ 3.32 מטרים
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | CA ≈ 1.95 מטרים |
|---|---|
| סעיף ב | AB ≈ 4.6 מטרים |
| סעיף ג | ∢BDA ≈ 73.5 מעלות |
| סעיף ד | CD ≈ 3.32 מטרים |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il