שיעור 39: בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 3 – מדרגות נעות: משפט פיתגורס ומשולשים דומים

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 3
מדרגות נעות: משפט פיתגורס ומשולשים דומים

📄 נוסח השאלה

במרכז קניות בן שתי קומות התקינו מדרגות נעות. המדרגות מתחילות בנקודה A שעל הקרקע ומסתיימות בנקודה B. הנקודה D נמצאת על הקטע AB.

למדרגות הוסיפו שני עמודי תמיכה, BC ו־DE המאונכים לקרקע. הנקודות A , E ו־C נמצאות על ישר אחד (ראו סרטוט).

נתון כי אורך הקטע AC הוא 9 מטרים, ואורך עמוד התמיכה BC הוא 6.75 מטרים.

א. מצאו את אורך המדרגות הנעות (AB).

ב. הסבירו מדוע המשולשים ABC ו־ADE דומים זה לזה.

נתון כי אורך הקטע AD הוא 7.5 מטרים.

ג. (1) מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים ABC ו־ADE.

(2) מצאו את אורך עמוד התמיכה DE.

ד. מצאו את המרחק בין שני עמודי התמיכה (EC).

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – אורך המדרגות AB

עמוד התמיכה BC מאונך לקרקע, ולכן ∢ACB = 90 מעלות, והמשולש ABC ישר זווית. AB – היתר (מול הזווית הישרה).

AB² = AC² + BC²📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²c – היתר, a , b – הניצבים

נציב AC = 9 , BC = 6.75:

AB² = 9² + 6.75²

AB² = 81 + 45.5625

AB² = 126.5625

AB = √126.5625 = 11.25

✅ פתרון סופי: AB = 11.25 מטרים

סעיף ב – למה המשולשים דומים

במשולשים ABC ו־ADE:

1. ∢A – זווית משותפת לשני המשולשים.

2. ∢ACB = ∢AED = 90 מעלות – שני עמודי התמיכה מאונכים לקרקע.

יש שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן המשולשים דומים:📐 משפט דמיון ז.זשתי זוויות שוות בהתאמה ← המשולשים דומים

△ABC ∼ △ADE

✅ פתרון סופי: המשולשים דומים לפי ז.ז: זווית A משותפת, ו־∢ACB = ∢AED = 90 מעלות

סעיף ג (1) – יחס הדמיון

הצלע AB במשולש הגדול מתאימה לצלע AD במשולש הקטן (שתיהן מול הזווית הישרה).

k = ABAD📐 משולשים דומיםיחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימותABAD = BCDE = ACAE

נציב AB = 11.25 , AD = 7.5:

k = 11.257.5

k = 1.5 = 32

✅ פתרון סופי: 32 (המשולש ABC גדול פי 1.5 מהמשולש ADE)

סעיף ג (2) – אורך העמוד DE

הצלע BC מתאימה לצלע DE (שתיהן מול הזווית A).

BCDE = 32📐 משולשים דומיםיחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימותABAD = BCDE = ACAE

נציב BC = 6.75:

6.75DE = 1.5

DE = 6.751.5

DE = 4.5

✅ פתרון סופי: DE = 4.5 מטרים

סעיף ד – המרחק EC בין העמודים

קודם נמצא את AE. הצלע AC מתאימה לצלע AE (הניצבים שעל הקרקע).

ACAE = 32📐 משולשים דומיםיחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימותABAD = BCDE = ACAE

נציב AC = 9:

9AE = 1.5

AE = 91.5 = 6

הנקודה E נמצאת בין A ל־C, ולכן:

EC = AC − AE

נציב AC = 9 , AE = 6:

EC = 9 − 6 = 3

✅ פתרון סופי: EC = 3 מטרים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	AB = 11.25 מטרים
סעיף ב	דמיון לפי ז.ז
ג (1)	32
ג (2)	DE = 4.5 מטרים
סעיף ד	EC = 3 מטרים

מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 7 פרקים52 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים