שיעור 42: בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 3 – בית העץ: משולשים דומים ומשפט פיתגורס

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 3
בית העץ: משולשים דומים ומשפט פיתגורס

📄 נוסח השאלה

ירון בנה בית עץ בן שתי קומות, שהחזית שלו בצורת משולש שווה שוקיים ABC (AC = AB). הוא הוסיף בחזית הבית, בין שתי הקומות, קורת תמיכה DE המקבילה לבסיס חזית הבית BC, כמתואר בסרטוט.

א. הסבירו מדוע המשולש ABC דומה למשולש ADE.

נתון כי יחס הדמיון בין המשולש ABC ובין המשולש ADE הוא 2. אורך בסיס חזית הבית BC הוא 8 מטרים, ואורך הצלע AD הוא 5.2 מטרים.

ב. (1) מצאו את אורך הצלע AB.

(2) מצאו את היקף חזית הבית (היקף המשולש ABC).

ירון התקין חלון זכוכית על כל שטח חזית הקומה העליונה. החזית היא בצורת משולש שווה שוקיים ADE (AE = AD). הנקודה G היא אמצע הבסיס DE.

ג. (1) מצאו את אורך הקטע DG.

(2) מצאו את שטח החלון.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – למה המשולשים דומים

DE ∥ BC, ולכן הזוויות המתאימות שוות:

∢ADE = ∢ABC , ∢AED = ∢ACB

(זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.) בנוסף, הזווית A משותפת לשני המשולשים.

יש שתי זוויות שוות, ולכן:📐 משולשים דומיםמשפט דמיון ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים

✅ פתרון סופי: △ABC ∼ △ADE לפי ז.ז

סעיף ב (1) – אורך הצלע AB

יחס הדמיון הוא 2: כל צלע במשולש הגדול ABC גדולה פי 2 מהצלע המתאימה במשולש ADE. הצלע AB מתאימה ל־AD:

ABAD = 2📐 משולשים דומיםיחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימותABAD = BCDE = ACAE

נציב AD = 5.2:

AB5.2 = 2

AB = 2 · 5.2 = 10.4

✅ פתרון סופי: AB = 10.4 מטרים

סעיף ב (2) – היקף חזית הבית

המשולש שווה שוקיים: AC = AB = 10.4.

P = AB + AC + BC

נציב AB = 10.4 , AC = 10.4 , BC = 8:

P = 10.4 + 10.4 + 8 = 28.8

✅ פתרון סופי: 28.8 מטרים

סעיף ג (1) – אורך הקטע DG

הבסיס DE מתאים לבסיס BC:

BCDE = 2📐 משולשים דומיםיחס הדמיון = היחס בין צלעות מתאימותABAD = BCDE = ACAE

נציב BC = 8:

8DE = 2

DE = 82 = 4

G אמצע DE:

DG = DE2

נציב DE = 4:

DG = 42 = 2

✅ פתרון סופי: DG = 2 מטרים

סעיף ג (2) – שטח החלון

במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה, ולכן AG ⊥ DE.

במשולש AGD הזווית G ישרה ו־AD היתר:

AG² + DG² = AD²📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²c – היתר, a , b – הניצבים

נציב DG = 2 , AD = 5.2:

AG² + 2² = 5.2²

AG² + 4 = 27.04

AG² = 23.04

AG = √23.04 = 4.8

שטח המשולש ADE:📐 שטח משולשצלע · הגובה לצלע2

S = DE · AG2

נציב DE = 4 , AG = 4.8:

S = 4 · 4.82 = 19.22 = 9.6

✅ פתרון סופי: 9.6 מ"ר

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	דמיון לפי ז.ז
ב (1)	AB = 10.4 מטרים
ב (2)	28.8 מטרים
ג (1)	DG = 2 מטרים
ג (2)	9.6 מ"ר

מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 7 פרקים52 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים