שיעור 10: עם החזרה ובלי החזרה (בלתי תלויים ותלויים)

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

עם החזרה ובלי החזרה (בלתי תלויים ותלויים)

📘 מה לומדים

מוציאים מכד שני כדורים, אחד אחרי השני. יש שתי דרכים:

עם החזרה – מחזירים את הכדור הראשון לכד. בהוצאה השנייה הכד בדיוק כמו בהתחלה, ולכן ההסתברויות לא משתנות. המאורעות בלתי תלויים.

בלי החזרה – הכדור הראשון לא חוזר. בהוצאה השנייה יש בכד כדור אחד פחות, ולכן ההסתברויות משתנות. המאורעות תלויים.

בשני המקרים מכפילים לאורך הענף:📐 הסתברות לאורך ענףההסתברות של שני שלבים ברצף = מכפלת ההסתברויות של השלבים

כשמבקשים "לפחות אחד" – קל יותר לחשב את המשלים "אף אחד":📐 מאורע משליםההסתברות של המשלים = 1 − ההסתברות של המאורע

📄 דוגמה

בכד 5 כדורים אדומים ו־3 כדורים כחולים. מוציאים מהכד שני כדורים, זה אחר זה.

א. מה ההסתברות ששני הכדורים אדומים, אם מוציאים עם החזרה?

ב. מה ההסתברות ששני הכדורים אדומים, אם מוציאים בלי החזרה?

ג. בלי החזרה: מה ההסתברות שיצא לפחות כדור כחול אחד?

ד. בלי החזרה: מה ההסתברות שיצא כדור אחד מכל צבע?

✏️ פתרון

סעיף א – עם החזרה

בכד 8 כדורים, מתוכם 5 אדומים. אחרי ההחזרה שוב יש 8 כדורים ו־5 אדומים:

ההסתברות = ראשון אדום · שני אדום📐 הסתברות לאורך ענףההסתברות של שני שלבים ברצף = מכפלת ההסתברויות של השלבים

נציב ראשון אדום = 58 , שני אדום = 58:

P = 58 · 58 = 2564 ≈ 0.39

✅ פתרון סופי: P = 2564 ≈ 0.39

סעיף ב – בלי החזרה

אחרי שיצא כדור אדום נשארו בכד 7 כדורים, מתוכם 4 אדומים:

ההסתברות = ראשון אדום · שני אדום📐 הסתברות לאורך ענףההסתברות של שני שלבים ברצף = מכפלת ההסתברויות של השלבים

נציב ראשון אדום = 58 , שני אדום = 47:

P = 58 · 47 = 2056 = 514 ≈ 0.36

✅ פתרון סופי: P = 514 ≈ 0.36

סעיף ג – לפחות כדור כחול אחד

המשלים של "לפחות כחול אחד" הוא "אף כדור כחול", כלומר שני הכדורים אדומים (סעיף ב):

ההסתברות = 1 − שניהם אדומים📐 מאורע משליםההסתברות של המשלים = 1 − ההסתברות של המאורע

נציב שניהם אדומים = 514:

P = 1 − 514 = 914 ≈ 0.64

✅ פתרון סופי: P = 914 ≈ 0.64

סעיף ד – כדור אחד מכל צבע

שני ענפים מתאימים: אדום ואז כחול, או כחול ואז אדום. בכל ענף מכפילים:

ההסתברות = אדום ואז כחול + כחול ואז אדום📐 כמה ענפים מתאימיםמחברים את ההסתברויות של הענפים

נציב אדום ואז כחול = 58 · 37 , כחול ואז אדום = 38 · 57:

P = 58 · 37 + 38 · 57

P = 1556 + 1556 = 3056 = 1528 ≈ 0.54

✅ פתרון סופי: P = 1528 ≈ 0.54

📌 סיכום

עם החזרה	הכד לא משתנה – בלתי תלויים
בלי החזרה	בהוצאה השנייה יש כדור אחד פחות – תלויים
"לפחות אחד"	1 פחות ההסתברות של "אף אחד"
סעיף א	2564 ≈ 0.39
סעיף ב	514 ≈ 0.36
סעיף ג	914 ≈ 0.64
סעיף ד	1528 ≈ 0.54

מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 7 פרקים52 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים