מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 7 פרקים52 שיעורים10 שבועות
שיעור 18: סטיית תקן
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
סטיית תקן
📘 מה לומדים
סטיית התקן מודדת את הפיזור: כמה הערכים רחוקים, בממוצע, מהממוצע.
סטיית תקן קטנה – הערכים קרובים לממוצע. סטיית תקן גדולה – הערכים מפוזרים.
איך מחשבים, צעד אחר צעד:
1. מחשבים את הממוצע.
2. לכל ערך: מחסירים ממנו את הממוצע ומעלים בריבוע.
3. מחברים את כל הריבועים ומחלקים במספר הערכים – זו השונות.
4. מוציאים שורש מהשונות.
שונות = סכום ריבועי המרחקיםn📐 שונותשונות = סכום ריבועי המרחקיםnn – מספר הערכים
סטיית תקן = √שונות📐 סטיית תקןסטיית תקן = √שונות
במחשבון יש מצב סטטיסטיקה שנותן את סטיית התקן ישר מהנתונים. כדאי לבדוק איתו את התוצאה.
📄 דוגמה 1 – השוואת שתי קבוצות
אלה הציונים של חמישה תלמידים בכל אחת משתי קבוצות:
קבוצה א: 6 , 7 , 8 , 9 , 10
קבוצה ב: 4 , 6 , 8 , 10 , 12
א. חשבו את הממוצע בכל קבוצה.
ב. חשבו את סטיית התקן בקבוצה א.
ג. חשבו את סטיית התקן בקבוצה ב.
ד. באיזו קבוצה הציונים מפוזרים יותר? הסבירו.
✏️ פתרון
סעיף א – הממוצעים
ממוצע = סכום הערכיםn📐 ממוצעממוצע = סכום הערכיםnn – מספר הערכים
נציב n = 5:
ממוצע א = 6 + 7 + 8 + 9 + 105 = 405 = 8
ממוצע ב = 4 + 6 + 8 + 10 + 125 = 405 = 8
✅ פתרון סופי: בשתי הקבוצות הממוצע 8
סעיף ב – סטיית התקן בקבוצה א
לכל ציון נחשב את הריבוע של המרחק מהממוצע:
מרחק בריבוע = (x − ממוצע)2
נציב ממוצע = 8:
מרחק בריבוע = (x − 8)2
(6 − 8)2 = 4
(7 − 8)2 = 1
(8 − 8)2 = 0
(9 − 8)2 = 1
(10 − 8)2 = 4
נחבר את הריבועים:
4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
שונות = סכום ריבועי המרחקיםn📐 שונותשונות = סכום ריבועי המרחקיםnn – מספר הערכים
נציב סכום ריבועי המרחקים = 10 , n = 5:
שונות = 105 = 2
סטיית תקן = √שונות📐 סטיית תקןסטיית תקן = √שונות
נציב שונות = 2:
סטיית תקן א = √2 ≈ 1.41
✅ פתרון סופי: סטיית התקן בקבוצה א ≈ 1.41
סעיף ג – סטיית התקן בקבוצה ב
אותם צעדים, עם הממוצע 8:
סכום ריבועי המרחקים:
(4 − 8)2 + (6 − 8)2 + (8 − 8)2 + (10 − 8)2 + (12 − 8)2 = 40
16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
שונות = סכום ריבועי המרחקיםn📐 שונותשונות = סכום ריבועי המרחקיםnn – מספר הערכים
נציב סכום ריבועי המרחקים = 40 , n = 5:
שונות = 405 = 8
סטיית תקן = √שונות📐 סטיית תקןסטיית תקן = √שונות
נציב שונות = 8:
סטיית תקן ב = √8 ≈ 2.83
✅ פתרון סופי: סטיית התקן בקבוצה ב ≈ 2.83
סעיף ד – השוואה
הממוצע זהה בשתי הקבוצות, אבל סטיית התקן בקבוצה ב גדולה יותר:
2.83 > 1.41
✅ פתרון סופי: הציונים בקבוצה ב מפוזרים יותר – סטיית התקן שלה גדולה יותר
📄 דוגמה 2 – סטיית תקן מטבלת שכיחויות
בטבלה ציוני 10 תלמידים: הציון 6 – 2 תלמידים, הציון 8 – 6 תלמידים, הציון 10 – 2 תלמידים.
א. חשבו את הממוצע.
ב. חשבו את סטיית התקן.
✏️ פתרון
סעיף א – הממוצע
ממוצע = סכום (ערך · שכיחות)n📐 ממוצע בטבלת שכיחויותממוצע = סכום (ערך · שכיחות)nn – סכום השכיחויות
נציב n = 10:
ממוצע = 6 · 2 + 8 · 6 + 10 · 210 = 8010 = 8
✅ פתרון סופי: הממוצע 8
סעיף ב – סטיית התקן
כל ריבוע של מרחק נכפול במספר התלמידים שקיבלו את הציון:
סכום ריבועי המרחקים:
(6 − 8)2 · 2 + (8 − 8)2 · 6 + (10 − 8)2 · 2 = 16
4 · 2 + 0 · 6 + 4 · 2 = 16
שונות = סכום ריבועי המרחקיםn📐 שונותשונות = סכום ריבועי המרחקיםnn – מספר הערכים
נציב סכום ריבועי המרחקים = 16 , n = 10:
שונות = 1610 = 1.6
סטיית תקן = √שונות📐 סטיית תקןסטיית תקן = √שונות
נציב שונות = 1.6:
סטיית תקן = √1.6 ≈ 1.26
✅ פתרון סופי: סטיית התקן ≈ 1.26
📌 סיכום
| מה היא מודדת | את הפיזור של הערכים סביב הממוצע |
|---|---|
| הנוסחאות | שונות = סכום ריבועי המרחקיםn , סטיית תקן = √שונות |
| הצעדים | ממוצע ← ריבוע המרחק של כל ערך ← סכום ← חלוקה ב־n (שונות) ← שורש |
| דוגמה 1 | ממוצע 8 בשתי הקבוצות; 1.41 מול 2.83 – קבוצה ב מפוזרת יותר |
| דוגמה 2 | ממוצע 8 , סטיית תקן 1.26 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il