מתמטיקה 3 יחידות – שאלון 371 7 פרקים52 שיעורים10 שבועות
שיעור 4: בגרות קיץ 2026 מועד א' · שאלה 1 – גדילה: תוכים ירוקים וכחולים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות קיץ 2026 מועד א' · שאלה 1
גדילה: תוכים ירוקים וכחולים
📄 נוסח השאלה
באי טרופי מסוים מספר התוכים הירוקים גדל בכל שנה ב־8%.
לפניכם גרף המתאר את מספר התוכים הירוקים באי לפי השנה, מתחילת שנת 2010.
א. (1) כמה תוכים ירוקים היו באי בתחילת שנת 2010?
(2) כמה תוכים ירוקים היו באי בתחילת שנת 2013?
ב. בתחילת איזו שנה היו 29,387 תוכים ירוקים באי?
באי יש גם תוכים כחולים. מספר התוכים הכחולים באי גדל בכל שנה באחוז קבוע. בתחילת שנת 2010 היה מספר התוכים הכחולים באי שווה למספר התוכים הירוקים באי.
בטבלה שלפניכם מוצג מספר התוכים הכחולים בתחילת שנת 2012.
| השנה | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
|---|---|---|---|---|
| מספר התוכים הכחולים | 21,632 |
ג. (1) מצאו בכמה אחוזים גדל מספר התוכים הכחולים באי בכל שנה.
(2) השלימו את הערכים החסרים בטבלה.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א (1) – בתחילת 2010
שנת 2010 היא תחילת הגרף (t = 0). בגרף, בשנת 2010 רשום על הציר האנכי 20,000.
✅ פתרון סופי: 20,000 תוכים
סעיף א (2) – בתחילת 2013
גדילה ב־8% בכל שנה:
q = 1 + p100📐 גדילה ודעיכהMt = M0 · qtגדילה: q = 1 + p100דעיכה: q = 1 − p100
נציב p = 8:
q = 1 + 8100 = 1.08
t = 2013 − 2010 = 3
Mt = M0 · qt📐 גדילה ודעיכהMt = M0 · qtגדילה: q = 1 + p100דעיכה: q = 1 − p100
נציב M0 = 20,000 , q = 1.08 , t = 3:
M3 = 20,000 · 1.083
1.083 = 1.259712
M3 = 20,000 · 1.259712
M3 = 25,194.24
✅ פתרון סופי: כ־25,194 תוכים
סעיף ב – מתי היו 29,387 תוכים
Mt = M0 · qt📐 גדילה ודעיכהMt = M0 · qtגדילה: q = 1 + p100דעיכה: q = 1 − p100
נציב Mt = 29,387 , M0 = 20,000 , q = 1.08:
29,387 = 20,000 · 1.08t
נחלק את שני האגפים ב־20,000:
1.08t = 29,38720,000
1.08t = 1.46935
נחשב חזקות של 1.08 (את 1.083 כבר חישבנו):
| t | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|
| 1.08t | 1.25971 | 1.36049 | 1.46933 |
t = 5
בדיקה:
Mt = 20,000 · 1.08t
נציב t = 5:
M5 = 20,000 · 1.085
M5 = 20,000 · 1.46933 ≈ 29,387 ✓
5 שנים אחרי תחילת 2010:
2010 + 5 = 2015
✅ פתרון סופי: בתחילת שנת 2015
סעיף ג (1) – אחוז הגדילה של התוכים הכחולים
בתחילת 2010 היו 20,000 תוכים כחולים (כמו הירוקים). מתחילת 2010 עד תחילת 2012 עברו t = 2 שנים.
Mt = M0 · qt📐 גדילה ודעיכהMt = M0 · qtגדילה: q = 1 + p100דעיכה: q = 1 − p100
נציב Mt = 21,632 , M0 = 20,000 , t = 2:
21,632 = 20,000 · q2
q2 = 21,63220,000
q2 = 1.0816
q = √1.0816 = 1.04
נמצא את האחוז:📐 גדילה ודעיכהMt = M0 · qtגדילה: q = 1 + p100דעיכה: q = 1 − p100
q = 1 + p100
נציב q = 1.04:
1.04 = 1 + p100
p100 = 0.04
p = 4
✅ פתרון סופי: גדל ב־4% בכל שנה
סעיף ג (2) – השלמת הטבלה
2010: מספר התוכים הכחולים שווה למספר הירוקים – 20,000.
2011 – שנה אחת אחרי 2010:
Mt = M0 · qt📐 גדילה ודעיכהMt = M0 · qtגדילה: q = 1 + p100דעיכה: q = 1 − p100
נציב M0 = 20,000 , q = 1.04 , t = 1:
M1 = 20,000 · 1.041 = 20,800
2013 – שנה אחת אחרי 2012:
Mt = M0 · qt
נציב M0 = 21,632 , q = 1.04 , t = 1:
M1 = 21,632 · 1.041 = 22,497.28
| השנה | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
|---|---|---|---|---|
| מספר התוכים הכחולים | 20,000 | 20,800 | 21,632 | 22,497 |
✅ פתרון סופי: 2010 – 20,000 , 2011 – 20,800 , 2013 – כ־22,497
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| א (1) | 20,000 |
|---|---|
| א (2) | כ־25,194 |
| סעיף ב | בתחילת 2015 |
| ג (1) | 4% |
| ג (2) | 20,000 , 20,800 , 22,497 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il