אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
חורף 2025 – שאלה 1 סעיף א
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2025, שאלה 1 סעיף א
סכום על מספרים זוגיים – פרמטר והוכחה
📄 נוסח השאלה
נתון השוויון:
8 + 24 + 48 + … + n(n + 2)
= n(n + a)(n + 4)6
עבור n טבעי זוגי. a הוא פרמטר.
(1) מצאו את הערך של a.
(2) בעבור הערך של a שמצאתם, הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי השוויון הנתון מתקיים לכל n טבעי זוגי.
✏️ פתרון
סעיף א (1) – הערך של a
המספר הזוגי הראשון הוא n = 2. אז באגף שמאל יש איבר אחד: 2 · 4 = 8.
2(2 + a)(2 + 4)6 = 8
2(2 + a) = 8
2 + a = 4
a = 2
✅ פתרון סופי: a = 2
סעיף א (2) – הוכחה באינדוקציה על הזוגיים
נוכיח לכל n זוגי:
8 + 24 + … + n(n + 2)
= n(n + 2)(n + 4)6
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 2📐 אינדוקציה על המספרים הזוגיים1. בסיס: בדיקה בעבור n = 22. הנחה: נכון בעבור n = k זוגי3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 24. מסקנה: נכון לכל n זוגי
8 = 2 · 4 · 66 = 8 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k זוגי כלשהו:
8 + … + k(k + 2) = k(k + 2)(k + 4)6
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 2
צריך להוכיח:
המספר הזוגי הבא הוא k + 2, והאיבר החדש הוא (k + 2)(k + 4):
8 + … + k(k + 2)
+ (k + 2)(k + 4)
= (k + 2)(k + 4)(k + 6)6
נציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה8 + … + k(k + 2)= k(k + 2)(k + 4)6
= k(k + 2)(k + 4)6 + (k + 2)(k + 4)
נוציא גורם משותף (k + 2)(k + 4):📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)
= (k + 2)(k + 4)(k6 + 1)
= (k + 2)(k + 4)(k + 6)6 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 2, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k זוגי אז היא נכונה גם בעבור n = k + 2. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי זוגי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א (1) | a = 2 |
|---|---|
| סעיף א (2) | הוכחה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il