אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
קיץ 2020 מועד ב (ניסוי 035581) – שאלה 1 סעיף ב
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2020 מועד ב׳ · שאלון ניסוי 035581
שאלה 1 סעיף ב – סכום שברים
📄 נוסח השאלה
הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים:
11 · 2 + 12 · 3 + 13 · 4 + …
… + 1n(n + 1) = nn + 1
✏️ פתרון
סעיף ב – הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל: איבר אחד:
11 · 2 = 12
אגף ימין:
11 + 1 = 12 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
11 · 2 + … + 1k(k + 1) = kk + 1
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
האיבר האחרון בעבור n = k + 1 הוא 1(k + 1)(k + 2).
11 · 2 + … + 1(k + 1)(k + 2)
= k + 1k + 2
נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה11 · 2 + … + 1k(k + 1) = kk + 1
= kk + 1 + 1(k + 1)(k + 2)
מכנה משותף (k + 1)(k + 2):
= k(k + 2) + 1(k + 1)(k + 2)
= k2 + 2k + 1(k + 1)(k + 2)
במונה ריבוע של סכום:📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
= (k + 1)2(k + 1)(k + 2)
נצמצם את (k + 1):
= k + 1k + 2 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף ב | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il