אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
קיץ 2023 מועד ב – שאלה 1 סעיף א
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 1 סעיף א
סכום עם פרמטר וחזקות של 2
📄 נוסח השאלה
בעבור כל n טבעי הוכיחו באינדוקצייה או בדרך אחרת כי מתקיים:
A2 + A22 + … + A2n = A(1 − 12n)
A הוא פרמטר.
✏️ פתרון
סעיף א – הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל: A2. אגף ימין:
A(1 − 12) = A2 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
A2 + … + A2k = A(1 − 12k)
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
A2 + … + A2k + A2k + 1
= A(1 − 12k + 1)
נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציהA2 + … + A2k = A(1 − 12k)
= A(1 − 12k) + A2k + 1
נוציא A גורם משותף:📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)
= A(1 − 12k + 12k + 1)
מכנה משותף 2k + 1, כי 2k + 1 = 2 · 2k:📐 חוקי חזקותam · an = am + n
= A(1 − 22k + 1 + 12k + 1)
= A(1 − 12k + 1) ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il