אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 11: הביטוי 7 בחזקת n פחות 1 מתחלק ב־6
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
התחלקות – תרגיל 2: מתחלק ב־6
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי הביטוי 7n − 1 מתחלק ב־6 ללא שארית.
✏️ פתרון
הוכחה באינדוקציה
מה צריך להראות:📐 מתחלק ללא שאריתהביטוי מתחלק ב־d ללא שאריתאם אפשר לכתוב אותו כ־d · m, כאשר m שלם
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
71 − 1 = 6 = 6 · 1 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
7k − 1 = 6m
כאשר m שלם. מכאן:
7k = 6m + 1
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
הביטוי 7k + 1 − 1 מתחלק ב־6.
נפרק את החזקה:📐 חוקי חזקותak + 1 = a · ak
7k + 1 − 1 = 7 · 7k − 1
נציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה7k = 6m + 1
= 7(6m + 1) − 1
= 42m + 7 − 1 = 42m + 6
= 6(7m + 1) ✓
7m + 1 שלם, ולכן מתחלק ב־6.
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il