אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
חורף 2021 (ניסוי 035581) – שאלה 1 סעיף ב
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2021 · שאלון ניסוי 035581
שאלה 1 סעיף ב – התחלקות ב־6
📄 נוסח השאלה
הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת שהביטוי n3 − n מתחלק ב־6 ללא שארית לכל n טבעי.
✏️ פתרון
סעיף ב – הוכחה באינדוקציה
מה צריך להראות:📐 מתחלק ללא שאריתהביטוי מתחלק ב־d ללא שאריתאם אפשר לכתוב אותו כ־d · m, כאשר m שלם
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
13 − 1 = 0 = 6 · 0 ✓
0 מתחלק ב־6 ללא שארית.
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
k3 − k = 6m
כאשר m שלם.
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
הביטוי (k + 1)3 − (k + 1) מתחלק ב־6.
נפתח סוגריים:📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(k + 1)3 − (k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 − k − 1
נסדר כך שיופיע הביטוי מההנחה:
= (k3 − k) + 3k2 + 3k
נציב את ההנחה ונוציא גורם משותף 3k:📐 הנחת האינדוקציהk3 − k = 6m
= 6m + 3k(k + 1)
k ו־k + 1 הם שני מספרים שלמים עוקבים, ולכן אחד מהם זוגי והמכפלה שלהם זוגית:📐 מכפלת שני מספרים עוקביםאחד מהם זוגי, ולכןk(k + 1) = 2tכאשר t שלם
= 6m + 3 · 2t
= 6(m + t) ✓
m + t שלם, ולכן מתחלק ב־6.
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף ב | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il