אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 12: הביטוי 3 בחזקת 2n פחות 1 מתחלק ב־8
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
התחלקות – תרגיל 3: מתחלק ב־8
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי הביטוי 32n − 1 מתחלק ב־8 ללא שארית.
✏️ פתרון
הוכחה באינדוקציה
מה צריך להראות:📐 מתחלק ללא שאריתהביטוי מתחלק ב־d ללא שאריתאם אפשר לכתוב אותו כ־d · m, כאשר m שלם
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
32 − 1 = 9 − 1 = 8 = 8 · 1 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
32k − 1 = 8m
כאשר m שלם. מכאן:
32k = 8m + 1
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
הביטוי 32(k + 1) − 1 מתחלק ב־8.
נפרק את החזקה:📐 חוקי חזקותam · an = am + n
32(k + 1) = 32k + 2 = 32k · 32
32(k + 1) − 1 = 9 · 32k − 1
נציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה32k = 8m + 1
= 9(8m + 1) − 1
= 72m + 9 − 1 = 72m + 8
= 8(9m + 1) ✓
9m + 1 שלם, ולכן מתחלק ב־8.
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il