אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 13: הביטוי n³ + 2n מתחלק ב־3
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
התחלקות – תרגיל 4: מתחלק ב־3
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי הביטוי n3 + 2n מתחלק ב־3 ללא שארית.
✏️ פתרון
הוכחה באינדוקציה
מה צריך להראות:📐 מתחלק ללא שאריתהביטוי מתחלק ב־d ללא שאריתאם אפשר לכתוב אותו כ־d · m, כאשר m שלם
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
13 + 2 · 1 = 3 = 3 · 1 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
k3 + 2k = 3m
כאשר m שלם.
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
הביטוי (k + 1)3 + 2(k + 1) מתחלק ב־3.
נפתח סוגריים:📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(k + 1)3 + 2(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 2k + 2
נסדר כך שיופיע הביטוי מההנחה:
= (k3 + 2k) + 3k2 + 3k + 3
נציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציהk3 + 2k = 3m
= 3m + 3k2 + 3k + 3
= 3(m + k2 + k + 1) ✓
m + k2 + k + 1 שלם, ולכן מתחלק ב־3.
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il