אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 20: לאיזה מספר הבסיס מתקיים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
הוכחה תקינה? – תרגיל 3: בסיס או צעד
📄 נוסח השאלה
לפניכם טענה, כאשר c הוא מספר קבוע: לכל n טבעי מתקיים
1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1)
= n(n + 1)(n + 2)3 + c
א. הוכיחו ששלב הצעד מתקיים לכל ערך של c.
ב. בעבור איזה ערך של c הטענה נכונה לכל n טבעי? נמקו.
✏️ פתרון
סעיף א – שלב הצעד
מניחים:
1 · 2 + … + k(k + 1)
= k(k + 1)(k + 2)3 + c
צריך להוכיח:
1 · 2 + … + (k + 1)(k + 2)
= (k + 1)(k + 2)(k + 3)3 + c
נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה1 · 2 + … + k(k + 1)= k(k + 1)(k + 2)3 + c
= k(k + 1)(k + 2)3
+ (k + 1)(k + 2) + c
נוציא גורם משותף (k + 1)(k + 2):📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)
= (k + 1)(k + 2)(k3 + 1) + c
= (k + 1)(k + 2)(k + 3)3 + c ✓
קיבלנו את אגף ימין, ובחישוב לא השתמשנו בערך של c. לכן הצעד מתקיים לכל c.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
סעיף ב – הערך של c
נבדוק את שלב הבסיס, n = 1:📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
1 · 2 = 1 · 2 · 33 + c
2 = 2 + c
c = 0
בעבור c = 0 מתקיים גם הבסיס וגם הצעד (סעיף א), ולכן לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל n טבעי. בעבור c ≠ 0 הבסיס לא מתקיים, והצעד לבדו אינו הוכחה.
✅ פתרון סופי: c = 0
📌 סיכום
| סעיף א | הצעד מתקיים לכל c |
|---|---|
| סעיף ב | c = 0 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il