אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 1: מהי הוכחה באינדוקציה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
מהי הוכחה באינדוקציה – ארבעת השלבים
הרעיון: כמו שורה של אבני דומינו. אם האבן הראשונה נופלת, ואם כל אבן שנופלת מפילה את האבן שאחריה – אז כל האבנים נופלות.
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בודקים שהטענה נכונה בעבור n = 1 (האבן הראשונה נופלת).
שלב 2 – הנחת האינדוקציה: מניחים שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו.
שלב 3 – צעד האינדוקציה: מוכיחים, בעזרת ההנחה, שהטענה נכונה גם בעבור n = k + 1 (כל אבן מפילה את הבאה).
שלב 4 – מסקנה: לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
בבגרות חייבים לכתוב את כל ארבעת השלבים. בלי בסיס או בלי צעד – זו לא הוכחה.
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:
1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)2
✏️ פתרון
הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל: יש איבר אחד בלבד:
1
אגף ימין:
1 · (1 + 1)2 = 22 = 1 ✓
שני האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה בעבור n = 1.
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
1 + 2 + … + k = k(k + 1)2
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
1 + 2 + … + k + (k + 1)
= (k + 1)(k + 2)2
אגף שמאל: הסכום עד k, ועוד האיבר האחרון (k + 1). נציב במקום הסכום עד k את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה1 + 2 + … + k = k(k + 1)2
1 + 2 + … + k + (k + 1)
= k(k + 1)2 + (k + 1)
נוציא גורם משותף (k + 1):📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)
= (k + 1)(k2 + 1)
= (k + 1) · k + 22
= (k + 1)(k + 2)2 ✓
קיבלנו בדיוק את אגף ימין שרצינו להוכיח.
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה – ארבעת השלבים |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il