אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 9: מכפלה עם הפרש ריבועים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
מכפלות – תרגיל 3: מכפלה עם הפרש ריבועים
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:
(1 − 122) · (1 − 132) · …
… · (1 − 1(n + 1)2)
= n + 22(n + 1)
✏️ פתרון
הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל:
1 − 14 = 34
אגף ימין:
1 + 22 · 2 = 34 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
(1 − 122) · … · (1 − 1(k + 1)2)
= k + 22(k + 1)
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
(1 − 122) · … · (1 − 1(k + 2)2)
= k + 32(k + 2)
נפריד את הגורם האחרון (1 − 1(k + 2)2) ונציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציה(1 − 122) · … · (1 − 1(k + 1)2)= k + 22(k + 1)
= k + 22(k + 1) · (1 − 1(k + 2)2)
= k + 22(k + 1) · (k + 2)2 − 1(k + 2)2
במונה יש הפרש ריבועים:📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
(k + 2)2 − 12 = (k + 1)(k + 3)
= k + 22(k + 1) · (k + 1)(k + 3)(k + 2)2
נצמצם את (k + 1) ואת (k + 2):
= k + 32(k + 2) ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il