שיעור 3: סכום חזקות של 2

פתרון בגרויות בשאלות הקצרות

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

תרגיל 3 – סכום חזקות של 2

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:

1 + 2 + 4 + … + 2^{n − 1} = 2ⁿ − 1

✏️ פתרון

הוכחה באינדוקציה

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי

אגף שמאל: איבר אחד, 2⁰ = 1.

אגף ימין:

2¹ − 1 = 1 ✓

שני האגפים שווים.

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

1 + 2 + … + 2^{k − 1} = 2^k − 1

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

האיבר האחרון בעבור n = k + 1 הוא 2^{(k + 1) − 1} = 2^k.

1 + 2 + … + 2^{k − 1} + 2^k

= 2^{k + 1} − 1

נציב את ההנחה במקום הסכום עד 2^{k − 1}:📐 הנחת האינדוקציה1 + 2 + … + 2^{k − 1} = 2^k − 1

1 + 2 + … + 2^{k − 1} + 2^k

= 2^k − 1 + 2^k

= 2 · 2^k − 1

לפי חוקי חזקות 2 · 2^k = 2¹ · 2^k = 2^{k + 1}:📐 חוקי חזקותa^m · aⁿ = a^{m + n}

= 2^{k + 1} − 1 ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📌 סיכום

סעיף א	הוכחה

אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים

שיעור 3: סכום חזקות של 2

תרגיל 3 – סכום חזקות של 2

הוכחה באינדוקציה

📌 סיכום

Modal title