אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 4: סכום מכפלות של מספרים עוקבים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
תרגיל 4 – סכום מכפלות של מספרים עוקבים
📄 נוסח השאלה
הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:
1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1)
= n(n + 1)(n + 2)3
✏️ פתרון
הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
אגף שמאל:
1 · 2 = 2
אגף ימין:
1 · 2 · 33 = 63 = 2 ✓
שני האגפים שווים.
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
1 · 2 + … + k(k + 1)
= k(k + 1)(k + 2)3
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
האיבר האחרון בעבור n = k + 1 הוא (k + 1)(k + 2).
1 · 2 + … + k(k + 1)
+ (k + 1)(k + 2)
= (k + 1)(k + 2)(k + 3)3
נציב את ההנחה במקום הסכום עד k(k + 1):📐 הנחת האינדוקציה1 · 2 + … + k(k + 1)= k(k + 1)(k + 2)3
= k(k + 1)(k + 2)3 + (k + 1)(k + 2)
נוציא גורם משותף (k + 1)(k + 2):📐 הוצאת גורם משותףab + ac = a(b + c)
= (k + 1)(k + 2)(k3 + 1)
= (k + 1)(k + 2) · k + 33
= (k + 1)(k + 2)(k + 3)3 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | הוכחה |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il