אינדוקציה – שאלון 571 8 פרקים41 שיעורים10 שבועות
שיעור 17: כלל נסיגה שאינו חשבוני ואינו הנדסי
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
סדרות – תרגיל 4: כלל נסיגה מעורב
📄 נוסח השאלה
סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה: a1 = 1, an + 1 = 2an + 1.
א. חשבו את a2, a3, a4.
ב. הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים: an = 2n − 1.
✏️ פתרון
סעיף א – האיברים הראשונים
a2 = 2 · 1 + 1 = 3📐 כלל הנסיגהan + 1 = 2an + 1
a3 = 2 · 3 + 1 = 7
a4 = 2 · 7 + 1 = 15
✅ פתרון סופי: a2 = 3, a3 = 7, a4 = 15
סעיף ב – הוכחה באינדוקציה
שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1📐 אינדוקציה מתמטית1. בסיס: בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 14. מסקנה: נכון לכל n טבעי
לפי הנתון a1 = 1. לפי הנוסחה:
21 − 1 = 1 ✓
שלב 2 – הנחת האינדוקציה:
נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:
ak = 2k − 1
שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1
צריך להוכיח:
ak + 1 = 2k + 1 − 1
לפי כלל הנסיגה:📐 כלל הנסיגהak + 1 = 2ak + 1
ak + 1 = 2ak + 1
נציב את ההנחה:📐 הנחת האינדוקציהak = 2k − 1
= 2(2k − 1) + 1
= 2 · 2k − 2 + 1📐 חוקי חזקותam · an = am + n
= 2k + 1 − 1 ✓
שלב 4 – מסקנה:
הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח ✓
📌 סיכום
| סעיף א | 3, 7, 15 |
|---|---|
| סעיף ב | הוכחה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il